递归算法

本文最后更新于:6 个月前

推荐注册返佣金的这个功能你应该不陌生吧?现在很多 App 都有这个功能。这个功能中,用户 A 推荐用户 B 来注册,用户 B 又推荐了用户 C 来注册。可以说,用户 C 的“最终推荐人”为用户 A,用户 B 的“最终推荐人”也为用户 A,而用户 A 没有“最终推荐人”。

一般来说,会通过数据库来记录这种推荐关系。在数据库表中,可以记录两行数据,其中 actor_id 表示用户 idreferrer_id 表示推荐人 id
image.png
基于这个背景的问题是,给定一个用户 ID,如何查找这个用户的“最终推荐人”?

如何理解“递归”?

个人觉得,有两个最难理解的知识点,一个是动态规划,另一个就是递归

递归是一种应用非常广泛的算法(或者编程技巧)。很多数据结构和算法的编码实现都要用到递归,比如 DFS 深度优先搜索、前中后序二叉树遍历等等。所以,搞懂递归非常重要,否则,后面复杂一些的数据结构和算法学起来就会比较吃力。

不过,别看说了这么多,递归本身可是一点儿都不“高冷”,生活中就有很多用到递归的例子。

周末你带着女朋友去电影院看电影,女朋友问你,咱们现在坐在第几排啊?电影院里面太黑了,看不清,没法数,现在你怎么办?

别忘了你是程序员,这个可难不倒你,递归就开始排上用场了。于是你就问前面一排的人他是第几排,你想只要在他的数字上加一,就知道自己在哪一排了。但是,前面的人也看不清啊,所以他也问他前面的人。就这样一排一排往前问,直到问到第一排的人,说我在第一排,然后再这样一排一排再把数字传回来。直到你前面的人告诉你他在哪一排,于是你就知道答案了。

这就是一个非常标准的递归求解问题的分解过程,去的过程叫“递”,回来的过程叫“归”。基本上,所有的递归问题都可以用递推公式来表示。刚刚这个生活中的例子,用递推公式将它表示出来就是这样的:

f(n)=f(n-1)+1 其中,f(1)=1

f(n) 表示你想知道自己在哪一排,f(n-1) 表示前面一排所在的排数,f(1)=1 表示第一排的人知道自己在第一排。有了这个递推公式,就可以很轻松地将它改为递归代码,如下:

int f(int n) {
  if (n == 1) return 1;
  return f(n-1) + 1;
}

递归需要满足的三个条件

刚刚这个例子是非常典型的递归,那究竟什么样的问题可以用递归来解决呢?这里总结了三个条件,只要同时满足以下三个条件,就可以用递归来解决。

1. 一个问题的解可以分解为几个子问题的解

何为子问题?子问题就是数据规模更小的问题。比如,前面讲的电影院的例子,你要知道,“自己在哪一排”的问题,可以分解为“前一排的人在哪一排”这样一个子问题。

2. 这个问题与分解之后的子问题,除了数据规模不同,求解思路完全一样

比如电影院那个例子,你求解“自己在哪一排”的思路,和前面一排人求解“自己在哪一排”的思路,是一模一样的。

3. 存在递归终止条件

把问题分解为子问题,把子问题再分解为子子问题,一层一层分解下去,不能存在无限循环,这就需要有终止条件。

还是电影院的例子,第一排的人不需要再继续询问任何人,就知道自己在哪一排,也就是 f(1)=1,这就是递归的终止条件。

如何编写递归代码?

刚刚铺垫了这么多,现在来看,如何来写递归代码?个人觉得,写递归代码最关键的是写出递推公式,找到终止条件,剩下将递推公式转化为代码就很简单了。

先记住这个理论。举一个例子,一步一步实现一个递归代码。

假如这里有 n 个台阶,每次可以跨 1 个台阶或者 2 个台阶,请问走这 n 个台阶有多少种走法?如果有 7 个台阶,可以 2,2,2,1 这样子上去,也可以 1,2,1,1,2 这样子上去,总之走法有很多,那如何用编程求得总共有多少种走法呢?

仔细想下,实际上,可以根据第一步的走法把所有走法分为两类,第一类是第一步走了 1 个台阶,另一类是第一步走了 2 个台阶。所以 n 个台阶的走法就等于先走 1 阶后,n-1 个台阶的走法加上先走 2 阶后,n-2 个台阶的走法。用公式表示就是:

f(n) = f(n-1)+f(n-2)

有了递推公式,递归代码基本上就完成了一半。再来看下终止条件。当有一个台阶时,不需要再继续递归,就只有一种走法。所以 f(1)=1。这个递归终止条件足够吗?可以用 n=2n=3 这样比较小的数试验一下。

n=2 时,f(2)=f(1)+f(0)。如果递归终止条件只有一个 f(1)=1,那 f(2) 就无法求解了。所以除了 f(1)=1 这一个递归终止条件外,还要有 f(0)=1,表示走 0 个台阶有一种走法,不过这样子看起来就不符合正常的逻辑思维了。所以,可以把 f(2)=2 作为一种终止条件,表示走 2 个台阶,有两种走法,一步走完或者分两步来走。

所以,递归终止条件就是 f(1)=1f(2)=2。这个时候,可以再拿 n=3n=4 来验证一下,这个终止条件是否足够并且正确。

把递归终止条件和刚刚得到的递推公式放到一起就是这样的:

f(1) = 1;
f(2) = 2;
f(n) = f(n-1)+f(n-2)

有了这个公式,转化成递归代码就简单多了。最终的递归代码是这样的:

int f(int n) {
  if (n == 1) return 1;
  if (n == 2) return 2;
  return f(n-1) + f(n-2);
}

总结一下,写递归代码的关键就是找到如何将大问题分解为小问题的规律,并且基于此写出递推公式,然后再推敲终止条件,最后将递推公式和终止条件翻译成代码。

虽然讲了这么多方法,但是作为初学者,现在是不是还是有种想不太清楚的感觉呢?实际上,刚学递归的时候,都有这种感觉,这也是文章开头说递归代码比较难理解的地方。

刚讲的电影院的例子,递归调用只有一个分支,也就是说“一个问题只需要分解为一个子问题”,很容易能够想清楚“递“和”归”的每一个步骤,所以写起来、理解起来都不难。

但是,当面对的是一个问题要分解为多个子问题的情况,递归代码就没那么好理解了。

像刚刚讲的第二个例子,人脑几乎没办法把整个“递”和“归”的过程一步一步都想清楚。

计算机擅长做重复的事情,所以递归正和它的胃口。而人脑更喜欢平铺直叙的思维方式。当看到递归时,总想把递归平铺展开,脑子里就会循环,一层一层往下调,然后再一层一层返回,试图想搞清楚计算机每一步都是怎么执行的,这样就很容易被绕进去。

对于递归代码,这种试图想清楚整个递和归过程的做法,实际上是进入了一个思维误区。很多时候,理解起来比较吃力,主要原因就是自己给自己制造了这种理解障碍。那正确的思维方式应该是怎样的呢?

如果一个问题 A 可以分解为若干子问题 BCD,你可以假设子问题 BCD 已经解决,在此基础上思考如何解决问题 A。而且,你只需要思考问题 A 与子问题 BCD 两层之间的关系即可,不需要一层一层往下思考子问题与子子问题,子子问题与子子子问题之间的关系。屏蔽掉递归细节,这样子理解起来就简单多了。

因此,编写递归代码的关键是,只要遇到递归,就把它抽象成一个递推公式,不用想一层层的调用关系,不要试图用人脑去分解递归的每个步骤。

递归代码要警惕堆栈溢出

在实际的软件开发中,编写递归代码时,会遇到很多问题,比如堆栈溢出。而堆栈溢出会造成系统崩溃,后果会非常严重。为什么递归代码容易造成堆栈溢出呢?又该如何预防堆栈溢出呢?

在“栈”那一篇讲过,函数调用会使用栈来保存临时变量。每调用一个函数,都会将临时变量封装为栈帧压入内存栈,等函数执行完成返回时,才出栈。系统栈或者虚拟机栈空间一般都不大。如果递归求解的数据规模很大,调用层次很深,一直压入栈,就会有堆栈溢出的风险。

比如前面的讲到的电影院的例子,如果将系统栈或者 JVM 堆栈大小设置为 1KB,在求解 f(19999) 时便会出现如下堆栈报错:

Exception in thread "main" java.lang.StackOverflowError

那么,如何避免出现堆栈溢出呢?

可以通过在代码中限制递归调用的最大深度的方式来解决这个问题。递归调用超过一定深度(比如 1000)之后,就不继续往下再递归了,直接返回报错。还是电影院那个例子,可以改造成下面这样子,就可以避免堆栈溢出了。不过,代码是伪代码,为了代码简洁,有些边界条件没有考虑,比如 x<=0

// 全局变量,表示递归的深度。
int depth = 0;

int f(int n) {
  ++depth;
  if (depth > 1000) throw exception;
  
  if (n == 1) return 1;
  return f(n-1) + 1;
}

但这种做法并不能完全解决问题,因为最大允许的递归深度跟当前线程剩余的栈空间大小有关,事先无法计算。如果实时计算,代码过于复杂,就会影响代码的可读性。所以,如果最大深度比较小,比如 1050,就可以用这种方法,否则这种方法并不是很实用。

递归代码要警惕重复计算

除此之外,使用递归时还会出现重复计算的问题。刚才的第二个递归代码的例子,如果把整个递归过程分解一下的话,那就是这样的:
image.png
从图中,可以直观地看到,想要计算 f(5),需要先计算 f(4)f(3),而计算 f(4) 还需要计算 f(3),因此,f(3) 就被计算了很多次,这就是重复计算问题。

为了避免重复计算,可以通过一个数据结构(比如散列表)来保存已经求解过的 f(k)。当递归调用到 f(k) 时,先看下是否已经求解过了。如果是,则直接从散列表中取值返回,不需要重复计算,这样就能避免刚讲的问题了。

按照上面的思路,来改造一下刚才的代码:

public int f(int n) {
  if (n == 1) return 1;
  if (n == 2) return 2;
  
  // hasSolvedList 可以理解成一个 Map,key 是 n,value 是 f(n)
  if (hasSolvedList.containsKey(n)) {
    return hasSovledList.get(n);
  }
  
  int ret = f(n-1) + f(n-2);
  hasSovledList.put(n, ret);
  return ret;
}

除了堆栈溢出、重复计算这两个常见的问题。递归代码还有很多别的问题。

在时间效率上,递归代码里多了很多函数调用,当这些函数调用的数量较大时,就会积聚成一个可观的时间成本。在空间复杂度上,因为递归调用一次就会在内存栈中保存一次现场数据,所以在分析递归代码空间复杂度时,需要额外考虑这部分的开销,比如我们前面讲到的电影院递归代码,空间复杂度并不是 $O(1)$,而是 $O(n)$。

怎么将递归代码改写为非递归代码?

刚说了递归有利有弊,利是递归代码的表达力很强,写起来非常简洁;而弊就是空间复杂度高、有堆栈溢出的风险、存在重复计算、过多的函数调用会耗时较多等问题。所以,在开发过程中,要根据实际情况来选择是否需要用递归的方式来实现。

那是否可以把递归代码改写为非递归代码呢?比如刚才那个电影院的例子,抛开场景,只看 f(x) = f(x-1)+1 这个递推公式。这样改写看看:

int f(int n) {
  int ret = 1;
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    ret = ret + 1;
  }
  return ret;
}

同样,第二个例子也可以改为非递归的实现方式。

int f(int n) {
  if (n == 1) return 1;
  if (n == 2) return 2;
  
  int ret = 0;
  int pre = 2;
  int prepre = 1;
  for (int i = 3; i <= n; ++i) {
    ret = pre + prepre;
    prepre = pre;
    pre = ret;
  }
  return ret;
}

那是不是所有的递归代码都可以改为这种迭代循环的非递归写法呢?

笼统地讲,是的。因为递归本身就是借助栈来实现的,只不过使用的栈是系统或者虚拟机本身提供的,没有感知罢了。如果自己在内存堆上实现栈,手动模拟入栈、出栈过程,这样任何递归代码都可以改写成看上去不是递归代码的样子。

但是这种思路实际上是将递归改为了“手动”递归,本质并没有变,而且也并没有解决前面讲到的某些问题,徒增了实现的复杂度。

总结

关于递归的知识,这里来总结一下。

递归是一种非常高效、简洁的编码技巧。只要是满足“三个条件”的问题就可以通过递归代码来解决。

不过递归代码也比较难写、难理解。编写递归代码的关键就是不要把自己绕进去,正确姿势是写出递推公式,找出终止条件,然后再翻译成递归代码。

递归代码虽然简洁高效,但是,递归代码也有很多弊端。比如,堆栈溢出、重复计算、函数调用耗时多、空间复杂度高等,所以,在编写递归代码的时候,一定要控制好这些副作用。

思考

  • 如何找到“最终推荐人”?解决方案是这样的:

    long findRootReferrerId(long actorId) {
      Long referrerId = select referrer_id from [table] where actor_id = actorId;
      if (referrerId == null) return actorId;
      return findRootReferrerId(referrerId);
    }

    是不是非常简洁?用三行代码就能搞定了,不过在实际项目中,上面的代码并不能工作,为什么呢?这里面有两个问题。

    第一,如果递归很深,可能会有堆栈溢出的问题。

    第二,如果数据库里存在脏数据,还需要处理由此产生的无限递归问题。比如 demo 环境下数据库中,测试工程师为了方便测试,会人为地插入一些数据,就会出现脏数据。如果 A 的推荐人是 BB 的推荐人是 CC 的推荐人是 A,这样就会发生死循环。

    第一个问题,前面已经解答过了,可以用限制递归深度来解决。第二个问题,也可以用限制递归深度来解决。不过,还有一个更高级的处理方法,就是自动检测 A-B-C-A 这种“环”的存在。如何来检测环的存在呢?这个暂时不细说,你可以自己思考下。

  • 平时调试代码喜欢使用 IDE 的单步跟踪功能,像规模比较大、递归层次很深的递归代码,几乎无法使用这种调试方式。对于递归代码,有什么好的调试方法呢?

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