8.排序(上)

本文最后更新于:6 个月前

排序对于任何一个程序员来说,可能都不会陌生。你学的第一个算法,可能就是排序。大部分编程语言中,也都提供了排序函数。在平常的项目中,也经常会用到排序。排序非常重要,所以会花多一点时间来详细讲一讲经典的排序算法。

排序算法太多了,有很多可能连名字都没听说过,比如猴子排序、睡眠排序、面条排序等。只讲众多排序算法中的一小撮,也是最经典的、最常用的:冒泡排序、插入排序、选择排序、归并排序、快速排序、计数排序、基数排序、桶排序。

带着问题去学习,是最有效的学习方法。先给出一个思考题:插入排序和冒泡排序的时间复杂度相同,都是 $O(n^2)$,在实际的软件开发里,为什么更倾向于使用插入排序算法而不是冒泡排序算法呢?

如何分析一个“排序算法”?

学习排序算法,除了学习它的算法原理、代码实现之外,更重要的是要学会如何评价、分析一个排序算法。那分析一个排序算法,要从哪几个方面入手呢?

排序算法的执行效率

对于排序算法执行效率的分析,一般会从这几个方面来衡量:

1. 最好情况、最坏情况、平均情况时间复杂度

在分析排序算法的时间复杂度时,要分别给出最好情况、最坏情况、平均情况下的时间复杂度。除此之外,还要说出最好、最坏时间复杂度对应的要排序的原始数据是什么样的。

为什么要区分这三种时间复杂度呢?第一,有些排序算法会区分,为了好对比,所以最好都做一下区分。第二,对于要排序的数据,有的接近有序,有的完全无序。有序度不同的数据,对于排序的执行时间肯定是有影响的,要知道排序算法在不同数据下的性能表现。

2. 时间复杂度的系数、常数 、低阶

时间复杂度反应的是数据规模 n 很大的时候的一个增长趋势,所以它表示的时候会忽略系数、常数、低阶。但是实际的软件开发中,排序的可能是 10 个、100 个、1000 个这样规模很小的数据,所以,在对同一阶时间复杂度的排序算法性能对比的时候,就要把系数、常数、低阶也考虑进来。

3. 比较次数和交换(或移动)次数

基于比较的排序算法的执行过程,会涉及两种操作,一种是元素比较大小,另一种是元素交换或移动。所以,如果在分析排序算法的执行效率的时候,应该把比较次数和交换(或移动)次数也考虑进去。

排序算法的内存消耗

前面讲过,算法的内存消耗可以通过空间复杂度来衡量,排序算法也不例外。不过,针对排序算法的空间复杂度,还引入了一个新的概念,原地排序Sorted in place)。原地排序算法,就是特指空间复杂度是 $O(1)$ 的排序算法。下面讲的三种排序算法,都是原地排序算法。

排序算法的稳定性

仅仅用执行效率和内存消耗来衡量排序算法的好坏是不够的。针对排序算法,还有一个重要的度量指标,稳定性。这个概念是说,如果待排序的序列中存在值相等的元素,经过排序之后,相等元素之间原有的先后顺序不变。

通过一个例子来解释一下。比如有一组数据 2,9,3,4,8,3,按照大小排序之后就是 2,3,3,4,8,9

这组数据里有两个 3。经过某种排序算法排序之后,如果两个 3 的前后顺序没有改变,那就把这种排序算法叫作稳定的排序算法;如果前后顺序发生变化,那对应的排序算法就叫作不稳定的排序算法

你可能要问了,两个 3 哪个在前,哪个在后有什么关系啊,稳不稳定又有什么关系呢?为什么要考察排序算法的稳定性呢?

很多数据结构和算法课程,在讲排序的时候,都是用整数来举例,但在真正软件开发中,要排序的往往不是单纯的整数,而是一组对象,需要按照对象的某个 key 来排序。

比如说,现在要给电商交易系统中的“订单”排序。订单有两个属性,一个是下单时间,另一个是订单金额。如果现在有 10 万条订单数据,希望按照金额从小到大对订单数据排序。对于金额相同的订单,希望按照下单时间从早到晚有序。对于这样一个排序需求,怎么来做呢?

最先想到的方法是:先按照金额对订单数据进行排序,然后,再遍历排序之后的订单数据,对于每个金额相同的小区间再按照下单时间排序。这种排序思路理解起来不难,但是实现起来会很复杂。

借助稳定排序算法,这个问题可以非常简洁地解决。解决思路是这样的:先按照下单时间给订单排序,注意是按照下单时间,不是金额。排序完成之后,用稳定排序算法,按照订单金额重新排序。两遍排序之后,得到的订单数据就是按照金额从小到大排序,金额相同的订单按照下单时间从早到晚排序的。为什么呢?

稳定排序算法可以保持金额相同的两个对象,在排序之后的前后顺序不变。第一次排序之后,所有的订单按照下单时间从早到晚有序了。在第二次排序中,用的是稳定的排序算法,所以经过第二次排序之后,相同金额的订单仍然保持下单时间从早到晚有序。
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冒泡排序(Bubble Sort)

冒泡排序只会操作相邻的两个数据。每次冒泡操作都会对相邻的两个元素进行比较,看是否满足大小关系要求。如果不满足就让它俩互换。一次冒泡会让至少一个元素移动到它应该在的位置,重复 n 次,就完成了 n 个数据的排序工作。

用一个例子,看下冒泡排序的整个过程。要对一组数据 4,5,6,3,2,1,从小到到大进行排序。第一次冒泡操作的详细过程就是这样:
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可以看出,经过一次冒泡操作之后,6 这个元素已经存储在正确的位置上。要想完成所有数据的排序,只要进行 6 次这样的冒泡操作就行了。
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实际上,刚讲的冒泡过程还可以优化。当某次冒泡操作已经没有数据交换时,说明已经达到完全有序,不用再继续执行后续的冒泡操作。这里还有另外一个例子,这里面给 6 个元素排序,只需要 4 次冒泡操作就可以了。
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冒泡排序算法的原理比较容易理解,具体的代码贴到下面,你可以结合着代码来看前面讲的原理。

// 冒泡排序,a 表示数组,n 表示数组大小
public void bubbleSort(int[] a, int n) {
  if (n <= 1) return;
 
 for (int i = 0; i < n; ++i) {
    // 提前退出冒泡循环的标志位
    boolean flag = false;
    for (int j = 0; j < n - i - 1; ++j) {
      if (a[j] > a[j+1]) { // 交换
        int tmp = a[j];
        a[j] = a[j+1];
        a[j+1] = tmp;
        flag = true;  // 表示有数据交换      
      }
    }
    if (!flag) break;  // 没有数据交换,提前退出
  }
}

现在,结合刚才分析排序算法的三个方面,有三个问题。

第一,冒泡排序是原地排序算法吗?

冒泡的过程只涉及相邻数据的交换操作,只需要常量级的临时空间,所以它的空间复杂度为 $O(1)$,是一个原地排序算法。

第二,冒泡排序是稳定的排序算法吗?

在冒泡排序中,只有交换才可以改变两个元素的前后顺序。为了保证冒泡排序算法的稳定性,当有相邻的两个元素大小相等的时候,不做交换,相同大小的数据在排序前后不会改变顺序,所以冒泡排序是稳定的排序算法。

第三,冒泡排序的时间复杂度是多少?

最好情况下,要排序的数据已经是有序的了,只需要进行一次冒泡操作,就可以结束了,所以最好情况时间复杂度是 $O(n)$。而最坏的情况是,要排序的数据刚好是倒序排列的,需要进行 n 次冒泡操作,所以最坏情况时间复杂度为 $O(n^2)$。
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最好、最坏情况下的时间复杂度很容易分析,那平均情况下的时间复杂是多少呢?前面讲过,平均时间复杂度就是加权平均期望时间复杂度,分析的时候要结合概率论的知识。

对于包含 n 个数据的数组,这 n 个数据就有 n! 种排列方式。不同的排列方式,冒泡排序执行的时间肯定是不同的。比如前面举的那两个例子,其中一个要进行 6 次冒泡,而另一个只需要 4 次。如果用概率论方法定量分析平均时间复杂度,涉及的数学推理和计算就会很复杂。这里还有一种思路,通过“有序度”和“逆序度”这两个概念来进行分析。

有序度是数组中具有有序关系的元素对的个数。有序元素对用数学表达式表示就是这样:

有序元素对:a[i] <= a[j], 如果 i < j

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同理,对于一个倒序排列的数组,比如 6,5,4,3,2,1,有序度是 0;对于一个完全有序的数组,比如 1,2,3,4,5,6,有序度就是 n*(n-1)/2,也就是 15。把这种完全有序的数组的有序度叫作满有序度。

逆序度的定义正好跟有序度相反(默认从小到大为有序),你应该已经想到了。关于逆序度,就不举例子了。可以对照上面讲的有序度的例子自己看下。

逆序元素对:a[i] > a[j], 如果 i < j

关于这三个概念,还可以得到一个公式:逆序度 = 满有序度 - 有序度。排序的过程就是一种增加有序度,减少逆序度的过程,最后达到满有序度,就说明排序完成了。

还是拿前面举的那个冒泡排序的例子来说明。要排序的数组的初始状态是 4,5,6,3,2,1 ,其中,有序元素对有 (4,5) (4,6) (5,6),所以有序度是 3n=6,所以排序完成之后终态的满有序度为 n*(n-1)/2=15
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冒泡排序包含两个操作原子,比较交换。每交换一次,有序度就加 1。不管算法怎么改进,交换次数总是确定的,即为逆序度,**也就是 n*(n-1)/2–初始有序度**。此例中就是 15–3=12,要进行 12 次交换操作。

对于包含 n 个数据的数组进行冒泡排序,平均交换次数是多少呢?最坏情况下,初始状态的有序度是 0,所以要进行 n*(n-1)/2 次交换。最好情况下,初始状态的有序度是 n*(n-1)/2,就不需要进行交换。可以取个中间值 n*(n-1)/4,来表示初始有序度既不是很高也不是很低的平均情况。

换句话说,平均情况下,需要 n*(n-1)/4 次交换操作,比较操作肯定要比交换操作多,而复杂度的上限是 $O(n^2)$,所以平均情况下的时间复杂度就是 $O(n^2)$。

这个平均时间复杂度推导过程其实并不严格,但是很多时候很实用,毕竟概率论的定量分析太复杂,不太好用。

插入排序(Insertion Sort)

先来看一个问题。一个有序的数组,往里面添加一个新的数据后,如何继续保持数据有序呢?很简单,只要遍历数组,找到数据应该插入的位置将其插入即可。

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这是一个动态排序的过程,即动态地往有序集合中添加数据,可以通过这种方法保持集合中的数据一直有序。而对于一组静态数据,也可以借鉴上面讲的插入方法,来进行排序,于是就有了插入排序算法。

插入排序具体是如何借助上面的思想来实现排序的呢?

首先,将数组中的数据分为两个区间,已排序区间未排序区间。初始已排序区间只有一个元素,就是数组的第一个元素。插入算法的核心思想是取未排序区间中的元素,在已排序区间中找到合适的插入位置将其插入,并保证已排序区间数据一直有序。重复这个过程,直到未排序区间中元素为空,算法结束。

如图所示,要排序的数据是 4,5,6,1,3,2,其中左侧为已排序区间,右侧是未排序区间。
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插入排序也包含两种操作,一种是元素的比较,一种是元素的移动。当需要将一个数据 a 插入到已排序区间时,需要拿 a 与已排序区间的元素依次比较大小,找到合适的插入位置。找到插入点之后,还需要将插入点之后的元素顺序往后移动一位,这样才能腾出位置给元素 a 插入。

对于不同的查找插入点方法(从头到尾、从尾到头),元素的比较次数是有区别的。但对于一个给定的初始序列,移动操作的次数总是固定的,就等于逆序度。

为什么说移动次数就等于逆序度呢?拿刚才的例子画了一个图表,你一看就明白了。满有序度是 n*(n-1)/2=15,初始序列的有序度是 5,所以逆序度是 10。插入排序中,数据移动的个数总和也等于 10=3+3+4
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插入排序的原理也很简单吧?也将代码实现贴在这里,你可以结合着代码再看下。

// 插入排序,a 表示数组,n 表示数组大小
public void insertionSort(int[] a, int n) {
  if (n <= 1) return;

  for (int i = 1; i < n; ++i) {
    int value = a[i];
    int j = i - 1;
    // 查找插入的位置
    for (; j >= 0; --j) {
      if (a[j] > value) {
        a[j+1] = a[j];  // 数据移动
      } else {
        break;
      }
    }
    a[j+1] = value; // 插入数据
  }
}

现在,来看点稍微复杂的东西。这里还是有三个问题。

第一,插入排序是原地排序算法吗?

从实现过程可以很明显地看出,插入排序算法的运行并不需要额外的存储空间,所以空间复杂度是 $O(1)$,也就是说,这是一个原地排序算法。

第二,插入排序是稳定的排序算法吗?

在插入排序中,对于值相同的元素,可以选择将后面出现的元素,插入到前面出现元素的后面,这样就可以保持原有的前后顺序不变,所以插入排序是稳定的排序算法。

第三,插入排序的时间复杂度是多少?

如果要排序的数据已经是有序的,并不需要搬移任何数据。如果从尾到头在有序数据组里面查找插入位置,每次只需要比较一个数据就能确定插入的位置。所以这种情况下,最好是时间复杂度为 $O(n)$。注意,这里是从尾到头遍历已经有序的数据

如果数组是倒序的,每次插入都相当于在数组的第一个位置插入新的数据,所以需要移动大量的数据,所以最坏情况时间复杂度为 $O(n^2)$。

还记得在数组中插入一个数据的平均时间复杂度是多少吗?没错,是 $O(n)$。所以,对于插入排序来说,每次插入操作都相当于在数组中插入一个数据,循环执行 n 次插入操作,所以平均时间复杂度为 $O(n^2)$。

选择排序(Selection Sort)

选择排序算法的实现思路有点类似插入排序,也分已排序区间和未排序区间。但是选择排序每次会从未排序区间中找到最小的元素,将其放到已排序区间的末尾。

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也有三个问题需要思考,不过前面两种排序算法已经分析得很详细了,这里就直接公布答案了。

首先,选择排序空间复杂度为 $O(1)$,是一种原地排序算法。选择排序的最好情况时间复杂度、最坏情况和平均情况时间复杂度都为 $O(n^2)$。你可以自己来分析看看。

那选择排序是稳定的排序算法吗?这个问题着重来说一下。

答案是否定的,选择排序是一种不稳定的排序算法。从前面的那张图中,可以看出来,选择排序每次都要找剩余未排序元素中的最小值,并和前面的元素交换位置,这样破坏了稳定性。

比如 5,8,5,2,9 这样一组数据,使用选择排序算法来排序的话,第一次找到最小元素 2,与第一个 5 交换位置,那第一个 5 和中间的 5 顺序就变了,所以就不稳定了。正是因此,相对于冒泡排序和插入排序,选择排序就稍微逊色了。

总结

要想分析、评价一个排序算法,需要从执行效率、内存消耗和稳定性三个方面来看。因此,上面分析了三种时间复杂度是 $O(n^2)$ 的排序算法,冒泡排序、插入排序、选择排序。需要重点掌握的是它们的分析方法。
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这三种时间复杂度为 $O(n^2)$ 的排序算法中,冒泡排序、选择排序,可能就纯粹停留在理论的层面了,学习的目的也只是为了开拓思维,实际开发中应用并不多,但是插入排序还是挺有用的。有些编程语言中的排序函数的实现原理会用到插入排序算法。

上面的这三种排序算法,实现代码都非常简单,对于小规模数据的排序,用起来非常高效。但是在大规模数据排序的时候,这个时间复杂度还是稍微有点高,所以更倾向于用下一篇的时间复杂度为 $O(nlogn)$ 的排序算法。

思考

  • 选择排序和插入排序的时间复杂度相同,都是$O(n^2)$,在实际的软件开发中,为什么更倾向于使用插入排序而不是冒泡排序算法呢?

    前面分析冒泡排序和插入排序的时候讲到,冒泡排序不管怎么优化,元素交换的次数是一个固定值,是原始数据的逆序度。插入排序是同样的,不管怎么优化,元素移动的次数也等于原始数据的逆序度。

    但是,从代码实现上来看,冒泡排序的数据交换要比插入排序的数据移动要复杂,冒泡排序需要 3 个赋值操作,而插入排序只需要 1 个。来看这段操作:

    冒泡排序中数据的交换操作:
    if (a[j] > a[j+1]) { // 交换
       int tmp = a[j];
       a[j] = a[j+1];
       a[j+1] = tmp;
       flag = true;
    }
    
    插入排序中数据的移动操作:
    if (a[j] > value) {
      a[j+1] = a[j];  // 数据移动
    } else {
      break;
    }

    把执行一个赋值语句的时间粗略地计为单位时间(unit_time),然后分别用冒泡排序和插入排序对同一个逆序度是 K 的数组进行排序。用冒泡排序,需要 K 次交换操作,每次需要 3 个赋值语句,所以交换操> 作总耗时就是 3*K 单位时间。而插入排序中数据移动操作只需要 K 个单位时间。

    这个只是非常理论的分析,为了实验,针对上面的冒泡排序和插入排序的 Java 代码,写了一个性能对比测试程序,随机生成 10000 个数组,每个数组中包含 200 个数据,然后在机器上分别用冒泡和插入排序算> 法来排序,冒泡排序算法大约 700ms 才能执行完成,而插入排序只需要 100ms 左右就能搞定!

    所以,虽然冒泡排序和插入排序在时间复杂度上是一样的,都是 $O(n^2)$,但是如果希望把性能优化做到极致,那肯定首选插入排序。插入排序的算法思路也有很大的优化空间,只是讲了最基础的一种。如果你对插入排> 序的优化感兴趣,可以自行学习一下希尔排序。

  • 特定算法是依赖特定的数据结构的。上面的几种排序算法,都是基于数组实现的。如果数据存储在链表中,这三种排序算法还能工作吗?如果能,那相应的时间、空间复杂度又是多少呢?

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