6.栈

本文最后更新于:6 个月前

浏览器的前进、后退功能,你肯定很熟悉吧?

当你依次访问完一串页面 a-b-c 之后,点击浏览器的后退按钮,就可以查看之前浏览过的页面 ba。当你后退到页面 a,点击前进按钮,就可以重新查看页面 bc。但是,如果你后退到页面 b 后,点击了新的页面 d,那就无法再通过前进、后退功能查看页面 c 了。

假设你是 Chrome 浏览器的开发工程师,你会如何实现这个功能呢?

如何理解“栈”?

关于“栈”,有一个非常贴切的例子,就是一摞叠在一起的盘子。平时放盘子的时候,都是从下往上一个一个放;取的时候,也是从上往下一个一个地依次取,不能从中间任意抽出。后进者先出,先进者后出,这就是典型的“栈”结构。
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从栈的操作特性上来看,栈是一种“操作受限”的线性表,只允许在一端插入和删除数据。

第一次接触这种数据结构的时候,就对它存在的意义产生了很大的疑惑。因为我觉得,相比数组和链表,栈带给我的只有限制,并没有任何优势。那直接使用数组或者链表不就好了吗?为什么还要用这个“操作受限”的“栈”呢?

事实上,从功能上来说,数组或链表确实可以替代栈,但你要知道,特定的数据结构是对特定场景的抽象,而且,数组或链表暴露了太多的操作接口,操作上的确灵活自由,但使用时就比较不可控,自然也就更容易出错。

当某个数据集合只涉及在一端插入和删除数据,并且满足后进先出、先进后出的特性,就应该首选“栈”这种数据结构。

如何实现一个“栈”?

从刚才栈的定义里,可以看出,栈主要包含两个操作,入栈和出栈,也就是在栈顶插入一个数据和从栈顶删除一个数据。理解了栈的定义之后,来看一看如何用代码实现一个栈。

实际上,栈既可以用数组来实现,也可以用链表来实现。用数组实现的栈,我们叫作顺序栈,用链表实现的栈,我们叫作链式栈

这里实现一个基于数组的顺序栈。基于链表实现的链式栈的代码,你可以自己试着写一下。

下面这段代码是用 Java 来实现的,但是不涉及任何高级语法,并且还用中文做了详细的注释,所以你应该是可以看懂的。

// 基于数组实现的顺序栈
public class ArrayStack {
  private String[] items;  // 数组
  private int count;       // 栈中元素个数
  private int n;           // 栈的大小

  // 初始化数组,申请一个大小为 n 的数组空间
  public ArrayStack(int n) {
    this.items = new String[n];
    this.n = n;
    this.count = 0;
  }

  // 入栈操作
  public boolean push(String item) {
    // 数组空间不够了,直接返回 false,入栈失败。
    if (count == n) return false;
    // 将 item 放到下标为 count 的位置,并且 count 加一
    items[count] = item;
    ++count;
    return true;
  }
  
  // 出栈操作
  public String pop() {
    // 栈为空,则直接返回 null
    if (count == 0) return null;
    // 返回下标为 count-1 的数组元素,并且栈中元素个数 count 减一
    String tmp = items[count-1];
    --count;
    return tmp;
  }
}

链表实现

public class StackOfLinked<Item> implements Iterable<Item> {
    //定义一个内部类,就可以直接使用类型参数
    private class Node {
        Item item;
        Node next;
    }

    private Node first;
    private int N;

    //构造器
    public StackOfLinked() {
    }

    //添加
    public void push(Item item) {
        Node oldFirst = first;
        first = new Node();
        first.item = item;
        first.next = oldFirst;
        N++;
    }

    //删除
    public Item pop() {
        Item item = first.item;
        first = first.next;
        N--;
        return item;
    }

    //是否为空
    public boolean isEmpty() {
        return N == 0;
    }

    //元素数量
    public int size() {
        return N;
    }

    //返回栈中最近添加的元素而不删除它
    public Item peek() {
        return first.item;
    }

    @Override
    public Iterator<Item> iterator() {
        return new LinkedIterator();
    }

    //内部类:迭代器
    class LinkedIterator implements Iterator {
        int i = N;
        Node t = first;

        @Override
        public boolean hasNext() {
            return i > 0;
        }

        @Override
        public Item next() {
            Item item = t.item;
            t = t.next;
            i--;
            return item;
        }
    }
}

了解了定义和基本操作,那它的操作的时间、空间复杂度是多少呢?

不管是顺序栈还是链式栈,存储数据只需要一个大小为 n 的数组就够了。在入栈和出栈过程中,只需要一两个临时变量存储空间,所以空间复杂度是 $O(1)$。

注意,这里存储数据需要一个大小为 n 的数组,并不是说空间复杂度就是 $O(n)$。因为,这 n 个空间是必须的,无法省掉。所以在说空间复杂度的时候,是指除了原本的数据存储空间外,算法运行还需要额外的存储空间。

空间复杂度分析是不是很简单?时间复杂度也不难。不管是顺序栈还是链式栈,入栈、出栈只涉及栈顶个别数据的操作,所以时间复杂度都是 $O(1)$。

支持动态扩容的顺序栈

刚才那个基于数组实现的栈,是一个固定大小的栈,也就是说,在初始化栈时需要事先指定栈的大小。当栈满之后,就无法再往栈里添加数据了。尽管链式栈的大小不受限,但要存储 next 指针,内存消耗相对较多。那如何基于数组实现一个可以支持动态扩容的栈呢?

你还记得,在数组那一篇,是如何来实现一个支持动态扩容的数组的吗?当数组空间不够时,就重新申请一块更大的内存,将原来数组中数据统统拷贝过去。这样就实现了一个支持动态扩容的数组。

所以,如果要实现一个支持动态扩容的栈,只需要底层依赖一个支持动态扩容的数组就可以了。当栈满了之后,就申请一个更大的数组,将原来的数据搬移到新数组中。下面有一张图,你可以对照着理解一下。
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实际上,支持动态扩容的顺序栈,平时开发中并不常用到。讲这一块的目的,主要还是希望练习一下前面讲的复杂度分析方法。所以这一小节的重点是复杂度分析。

你不用死记硬背入栈、出栈的时间复杂度,你需要掌握的是分析方法。能够自己分析才算是真正掌握了。现在就分析一下支持动态扩容的顺序栈的入栈、出栈操作的时间复杂度。

对于出栈操作来说,不会涉及内存的重新申请和数据的搬移,所以出栈的时间复杂度仍然是 $O(1)$。但是,对于入栈操作来说,情况就不一样了。当栈中有空闲空间时,入栈操作的时间复杂度为 $O(1)$。但当空间不够时,就需要重新申请内存和数据搬移,所以时间复杂度就变成了 $O(n)$。

也就是说,对于入栈操作来说,最好情况时间复杂度是 $O(1)$,最坏情况时间复杂度是 $O(n)$。那平均情况下的时间复杂度又是多少呢?还记得在复杂度分析那一节中讲的摊还分析法吗?这个入栈操作的平均情况下的时间复杂度可以用摊还分析法来分析。也正好借此来实战一下摊还分析法。

为了分析的方便,需要事先做一些假设和定义:

  • 栈空间不够时,重新申请一个是原来大小两倍的数组;

  • 为了简化分析,假设只有入栈操作没有出栈操作;

  • 定义不涉及内存搬移的入栈操作为 simple-push 操作,时间复杂度为 $O(1)$。

如果当前栈大小为 K,并且已满,当再有新的数据要入栈时,就需要重新申请 2 倍大小的内存,并且做 K 个数据的搬移操作,然后再入栈。但是,接下来的 K-1 次入栈操作,都不需要再重新申请内存和搬移数据,所以这 K-1 次入栈操作都只需要一个 simple-push 操作就可以完成。为了更加直观地理解这个过程,下面有一张图。
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你应该可以看出来,这 K 次入栈操作,总共涉及了 K 个数据的搬移,以及 Ksimple-push 操作。将 K 个数据搬移均摊到 K 次入栈操作,那每个入栈操作只需要一个数据搬移和一个 simple-push 操作。以此类推,入栈操作的均摊时间复杂度就为 $O(1)$。

通过这个例子的实战分析,也印证了前面讲到的,均摊时间复杂度一般都等于最好情况时间复杂度。因为在大部分情况下,入栈操作的时间复杂度都是 $O(1)$,只有在个别时刻才会退化为 $O(n)$,所以把耗时多的入栈操作的时间均摊到其他入栈操作上,平均情况下的耗时就接近 $O(1)$。

栈在函数调用中的应用

前面的都比较偏理论,现在来看下,栈在软件工程中的实际应用。栈作为一个比较基础的数据结构,应用场景还是蛮多的。其中,比较经典的一个应用场景就是函数调用栈

操作系统给每个线程分配了一块独立的内存空间,这块内存被组织成“栈”这种结构, 用来存储函数调用时的临时变量。每进入一个函数,就会将临时变量作为一个栈帧入栈,当被调用函数执行完成,返回之后,将这个函数对应的栈帧出栈。为了更好地理解,下面一块来看下这段代码的执行过程。

int main() {
   int a = 1; 
   int ret = 0;
   int res = 0;
   ret = add(3, 5);
   res = a + ret;
   printf("%d", res);
   reuturn 0;
}

int add(int x, int y) {
   int sum = 0;
   sum = x + y;
   return sum;
}

从代码中可以看出,main() 函数调用了 add() 函数,获取计算结果,并且与临时变量 a 相加,最后打印 res 的值。为了清晰地看到这个过程对应的函数栈里出栈、入栈的操作,下面有一张图。图中显示的是,在执行到 add() 函数时,函数调用栈的情况。
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栈在表达式求值中的应用

再来看栈的另一个常见的应用场景,编译器如何利用栈来实现表达式求值

为了方便解释,这里将算术表达式简化为只包含加减乘除四则运算,比如:34 + 13 * 9 + 44 - 12 / 3。对于这个四则运算,人脑可以很快求解出答案,但是对于计算机来说,理解这个表达式本身就是个挺难的事儿。如果换作你,让你来实现这样一个表达式求值的功能,你会怎么做呢?

实际上,编译器就是通过两个栈来实现的。其中一个保存操作数的栈,另一个是保存运算符的栈。从左向右遍历表达式,当遇到数字,就直接压入操作数栈;当遇到运算符,就与运算符栈的栈顶元素进行比较。

如果比运算符栈顶元素的优先级高,就将当前运算符压入栈;如果比运算符栈顶元素的优先级低或者相同,从运算符栈中取栈顶运算符,从操作数栈的栈顶取 2 个操作数,然后进行计算,再把计算完的结果压入操作数栈,继续比较。

下面将 3 + 5 * 8 - 6 这个表达式的计算过程画成了一张图,可以结合图来理解刚讲的计算过程。
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这样用两个栈来解决的思路是不是非常巧妙?你有没有想到呢?

栈在括号匹配中的应用

除了用栈来实现表达式求值,还可以借助栈来检查表达式中的括号是否匹配。

同样简化一下背景。假设表达式中只包含三种括号,圆括号 ()、方括号 [] 和花括号 {},并且它们可以任意嵌套。比如,{[{}]}[{()}([])] 等都为合法格式,而 {[}()][({)] 为不合法的格式。现在给你一个包含三种括号的表达式字符串,如何检查它是否合法呢?

这里也可以用栈来解决。用栈来保存未匹配的左括号,从左到右依次扫描字符串。当扫描到左括号时,则将其压入栈中;当扫描到右括号时,从栈顶取出一个左括号。如果能够匹配,比如“(”跟“)”匹配,“[”跟“]”匹配,“{”跟“}”匹配,则继续扫描剩下的字符串。如果扫描的过程中,遇到不能配对的右括号,或者栈中没有数据,则说明为非法格式。

当所有的括号都扫描完成之后,如果栈为空,则说明字符串为合法格式;否则,说明有未匹配的左括号,为非法格式。

总结

来回顾一下上面讲的内容。栈是一种操作受限的数据结构,只支持入栈和出栈操作。后进先出是它最大的特点。栈既可以通过数组实现,也可以通过链表来实现。不管基于数组还是链表,入栈、出栈的时间复杂度都为 $O(1)$。除此之外,还讲了一种支持动态扩容的顺序栈,需要重点掌握它的均摊时间复杂度分析方法。

思考

  • 如何实现浏览器的前进、后退功能?

    其实,用两个栈就可以非常完美地解决这个问题。
    使用两个栈,XY,把首次浏览的页面依次压入栈 X,当点击后退按钮时,再依次从栈 X 中出栈,并将出栈的数据依次放入栈 Y。当点击前进按钮时,依次从栈 Y 中取出数据,放入栈 X 中。当栈 X 中没有数据时,那就说明没有页面可以继续后退浏览了。当栈 Y 中没有数据,那就说明没有页面可以点击前进按钮浏览了。

    比如你顺序查看了 abc 三个页面,就依次把 abc 压入栈,这个时候,两个栈的数据就是这个样子:
    image.png
    当你通过浏览器的后退按钮,从页面 c 后退到页面 a 之后,就依次把 cb 从栈 X 中弹出,并且依次放入到栈 Y。这个时候,两个栈的数据就是这个样子:
    image.png
    这个时候你又想看页面 b,于是你又点击前进按钮回到 b 页面,就把 b 再从栈 Y 中出栈,放入栈 X 中。此时两个栈的数据是这个样子:
    image.png
    这个时候,你通过页面 b 又跳转到新的页面 d 了,页面 c 就无法再通过前进、后退按钮重复查看了,所以需要清空栈 Y。此时两个栈的数据这个样子:
    image.png

  • 在讲栈的应用时,讲到用函数调用栈来保存临时变量,为什么函数调用要用“栈”来保存临时变量呢?用其他数据结构不行吗?

    答:因为函数调用的执行顺序符合后进者先出,先进者后出的特点。
    比如函数中的局部变量的生命周期的长短是先定义的生命周期长,后定义的生命周期短;
    还有函数中调用函数也是这样,先开始执行的函数只有等到内部调用的其他函数执行完毕,该函数才能执行结束。
    正是由于函数调用的这些特点,根据数据结构是特定应用场景的抽象的原则,优先考虑栈结构。

  • JVM 内存管理中有个“堆栈”的概念。栈内存用来存储局部变量和方法调用,堆内存用来存储 Java 中的对象。那 JVM 里面的“栈”跟我们这里说的“栈”是不是一回事呢?如果不是,那它为什么又叫作“栈”呢?

    答:JVM里面的栈和我们这里说的是一回事,被称为方法栈。
    和前面函数调用的作用是一致的,用来存储方法中的局部变量。