40.拓扑排序

本文最后更新于:6 个月前

一个完整的项目往往会包含很多代码源文件。编译器在编译整个项目的时候,需要按照依赖关系,依次编译每个源文件。比如,A.cpp 依赖 B.cpp,那在编译的时候,编译器需要先编译 B.cpp,才能编译 A.cpp

编译器通过分析源文件或者程序员事先写好的编译配置文件(比如 Makefile 文件),来获取这种局部的依赖关系。那编译器又该如何通过源文件两两之间的局部依赖关系,确定一个全局的编译顺序呢?
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算法解析

这个问题的解决思路与“图”这种数据结构的一个经典算法“拓扑排序算法”有关。那什么是拓扑排序呢?这个概念很好理解,先来看一个生活中的拓扑排序的例子。

我们在穿衣服的时候都有一定的顺序,可以把这种顺序想成,衣服与衣服之间有一定的依赖关系。比如说,必须先穿袜子才能穿鞋,先穿内裤才能穿秋裤。假设现在有八件衣服要穿,它们之间的两两依赖关系已经很清楚了,那如何安排一个穿衣序列,能够满足所有的两两之间的依赖关系?

这就是个拓扑排序问题。从这个例子中,你应该能想到,在很多时候,拓扑排序的序列并不是唯一的。你可以下面的这幅图,有好几种满足这些局部先后关系的穿衣序列。
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弄懂了这个生活中的例子,关于编译顺序的问题,你应该也有思路了。

拓扑排序的原理非常简单,重点应该放到拓扑排序的实现上面。

算法是构建在具体的数据结构之上的。针对这个问题,先来看下,如何将问题背景抽象成具体的数据结构?

可以把源文件与源文件之间的依赖关系,抽象成一个有向图。每个源文件对应图中的一个顶点,源文件之间的依赖关系就是顶点之间的边。

如果 a 先于 b 执行,也就是说 b 依赖于 a,那么就在顶点 a 和顶点 b 之间,构建一条从 a 指向 b 的边。而且,这个图不仅要是有向图,还要是一个有向无环图,也就是不能存在像 a->b->c->a 这样的循环依赖关系。因为图中一旦出现环,拓扑排序就无法工作了。实际上,拓扑排序本身就是基于有向无环图的一个算法。

public class Graph {
  private int v; // 顶点的个数
  private LinkedList<Integer> adj[]; // 邻接表

  public Graph(int v) {
    this.v = v;
    adj = new LinkedList[v];
    for (int i=0; i<v; ++i) {
      adj[i] = new LinkedList<>();
    }
  }

  public void addEdge(int s, int t) { // s 先于 t,边 s->t
    adj[s].add(t);
  }
}

数据结构定义好了,现在来看,如何在这个有向无环图上,实现拓扑排序?

拓扑排序有两种实现方法,都不难理解。它们分别是Kahn 算法DFS 深度优先搜索算法。依次来看下它们都是怎么工作的。

1. Kahn 算法

Kahn 算法实际上用的是贪心算法思想,思路非常简单、好懂。

定义数据结构的时候,如果 s 需要先于 t 执行,那就添加一条 s 指向 t 的边。所以,如果某个顶点入度为 0,也就表示,没有任何顶点必须先于这个顶点执行,那么这个顶点就可以执行了。

先从图中,找出一个入度为 0 的顶点,将其输出到拓扑排序的结果序列中(对应代码中就是把它打印出来),并且把这个顶点从图中删除(也就是把这个顶点可达的顶点的入度都减 1)。循环执行上面的过程,直到所有的顶点都被输出。最后输出的序列,就是满足局部依赖关系的拓扑排序。

Kahn 算法的代码实现如下,你可以结合着文字描述一块看下。不过,你应该能发现,这段代码实现更有技巧一些,并没有真正删除顶点的操作。代码中有详细的注释,就不多解释了。

public void topoSortByKahn() {
  int[] inDegree = new int[v]; // 统计每个顶点的入度
  for (int i = 0; i < v; ++i) {
    for (int j = 0; j < adj[i].size(); ++j) {
      int w = adj[i].get(j); // i->w
      inDegree[w]++;
    }
  }
  LinkedList<Integer> queue = new LinkedList<>();
  for (int i = 0; i < v; ++i) {
    if (inDegree[i] == 0) queue.add(i);
  }
  while (!queue.isEmpty()) {
    int i = queue.remove();
    System.out.print("->" + i);
    for (int j = 0; j < adj[i].size(); ++j) {
      int k = adj[i].get(j);
      inDegree[k]--;
      if (inDegree[k] == 0) queue.add(k);
    }
  }
}

2. DFS 算法

实际上,拓扑排序也可以用深度优先搜索来实现。不过这里的名字要稍微改下,更加确切的说法应该是深度优先遍历,遍历图中的所有顶点,而非只是搜索一个顶点到另一个顶点的路径。

关于这个算法的实现原理,先把代码贴在下面,下面具体解释。

public void topoSortByDFS() {
  // 先构建逆邻接表,边 s->t 表示,s 依赖于 t,t 先于 s
  LinkedList<Integer> inverseAdj[] = new LinkedList[v];
  for (int i = 0; i < v; ++i) { // 申请空间
    inverseAdj[i] = new LinkedList<>();
  }
  for (int i = 0; i < v; ++i) { // 通过邻接表生成逆邻接表
    for (int j = 0; j < adj[i].size(); ++j) {
      int w = adj[i].get(j); // i->w
      inverseAdj[w].add(i); // w->i
    }
  }
  boolean[] visited = new boolean[v];
  for (int i = 0; i < v; ++i) { // 深度优先遍历图
    if (visited[i] == false) {
      visited[i] = true;
      dfs(i, inverseAdj, visited);
    }
  }
}

private void dfs(
    int vertex, LinkedList<Integer> inverseAdj[], boolean[] visited) {
  for (int i = 0; i < inverseAdj[vertex].size(); ++i) {
    int w = inverseAdj[vertex].get(i);
    if (visited[w] == true) continue;
    visited[w] = true;
    dfs(w, inverseAdj, visited);
  } // 先把 vertex 这个顶点可达的所有顶点都打印出来之后,再打印它自己
  System.out.print("->" + vertex);
}

这个算法包含两个关键部分。

第一部分是通过邻接表构造逆邻接表。邻接表中,边 s->t 表示 s 先于 t 执行,也就是 t 要依赖 s。在逆邻接表中,边 s->t 表示 s 依赖于 ts 后于 t 执行。为什么这么转化呢?这个跟这个算法的实现思想有关。

第二部分是这个算法的核心,也就是递归处理每个顶点。对于顶点 vertex 来说,先输出它可达的所有顶点,也就是说,先把它依赖的所有的顶点输出了,然后再输出自己。

这两个算法的时间复杂度分别是多少呢?

Kahn 代码中可以看出来,每个顶点被访问了一次,每个边也都被访问了一次,所以,Kahn 算法的时间复杂度就是 $O(V+E)$(V 表示顶点个数,E 表示边的个数)。

DFS 算法的时间复杂度之前分析过。每个顶点被访问两次,每条边都被访问一次,所以时间复杂度也是 $O(V+E)$。

注意,这里的图可能不是连通的,有可能是有好几个不连通的子图构成,所以,E 并不一定大于 V,两者的大小关系不确定。所以,在表示时间复杂度的时候,VE 都要考虑在内。

总结引申

拓扑排序应用非常广泛,解决的问题的模型也非常一致。凡是需要通过局部顺序来推导全局顺序的,一般都能用拓扑排序来解决。除此之外,拓扑排序还能检测图中环的存在。对于 Kahn 算法来说,如果最后输出的顶点个数,少于图中顶点个数,图中还有入度不是 0 的顶点,那就说明,图中存在环。

关于图中环的检测,在递归那一篇讲过一个例子,在查找最终推荐人的时候,可能会因为脏数据,造成存在循环推荐,比如,用户 A 推荐了用户 B,用户 B 推荐了用户 C,用户 C 又推荐了用户 A。如何避免这种脏数据导致的无限递归?这个问题当时留给你思考了,现在是时候解答了。

实际上,这就是环的检测问题。因为每次都只是查找一个用户的最终推荐人,所以,并不需要动用复杂的拓扑排序算法,而只需要记录已经访问过的用户 ID,当用户 ID 第二次被访问的时候,就说明存在环,也就说明存在脏数据。

HashSet<Integer> hashTable = new HashSet<>(); // 保存已经访问过的 actorId
long findRootReferrerId(long actorId) {
  if (hashTable.contains(actorId)) { // 存在环
    return;
  }
  hashTable.add(actorId);
  Long referrerId = 
       select referrer_id from [table] where actor_id = actorId;
  if (referrerId == null) return actorId;
  return findRootReferrerId(referrerId);
}

如果把这个问题改一下,想要知道数据库中的所有用户之间的推荐关系,有没有存在环的情况。这个问题,就需要用到拓扑排序算法了。把用户之间的推荐关系,从数据库中加载到内存中,然后构建成上面的这种有向图数据结构,再利用拓扑排序,就可以快速检测出是否存在环了。

思考

  • 用图表示依赖关系的时候,如果 a 先于 b 执行,就画一条从 ab 的有向边;反过来,如果 a 先于 b,画一条从 ba 的有向边,表示 b 依赖 a,那上面的 Kahn 算法和 DFS 算法还能否正确工作呢?如果不能,应该如何改造一下呢?

  • 上面讲了两种拓扑排序算法的实现思路,Kahn 算法和 DFS 深度优先搜索算法,如果换做 BFS 广度优先搜索算法,还可以实现吗?欢迎留言和我分享。


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