35.分治算法

2019.08.11 13:49 0

MapReduceGoogle 大数据处理的三驾马车之一,另外两个是 GFSBigtable。它在倒排索引、PageRank 计算、网页分析等搜索引擎相关的技术中都有大量的应用。

尽管开发一个 MapReduce 看起来很高深,感觉跟遥不可及。实际上,万变不离其宗,它的本质就是一种算法思想,分治算法。

如何理解分治算法?

为什么说 MapRedue 的本质就是分治算法呢?先来看,什么是分治算法?

分治算法(divide and conquer)的核心思想其实就是四个字,分而治之 ,也就是将原问题划分成 n 个规模较小,并且结构与原问题相似的子问题,递归地解决这些子问题,然后再合并其结果,就得到原问题的解。

这个定义看起来有点类似递归的定义。关于分治和递归的区别,在排序(下)的时候说过,分治算法是一种处理问题的思想,递归是一种编程技巧。实际上,分治算法一般都比较适合用递归来实现。分治算法的递归实现中,每一层递归都会涉及这样三个操作:

  • 分解:将原问题分解成一系列子问题;

  • 解决:递归地求解各个子问题,若子问题足够小,则直接求解;

  • 合并:将子问题的结果合并成原问题。

分治算法能解决的问题,一般需要满足下面这几个条件:

  • 原问题与分解成的小问题具有相同的模式;

  • 原问题分解成的子问题可以独立求解,子问题之间没有相关性,这一点是分治算法跟动态规划的明显区别;

  • 具有分解终止条件,也就是说,当问题足够小时,可以直接求解;

  • 可以将子问题合并成原问题,而这个合并操作的复杂度不能太高,否则就起不到减小算法总体复杂度的效果了。

分治算法应用举例分析

理解分治算法的原理并不难,但是要想灵活应用并不容易。

还记得在排序算法里讲的数据的有序度、逆序度的概念吗?当时讲到,用有序度来表示一组数据的有序程度,用逆序度表示一组数据的无序程度。

假设有 n 个数据,期望数据从小到大排列,那完全有序的数据的有序度就是 $\frac {n(n-1)} 2$,逆序度等于 0;相反,倒序排列的数据的有序度就是 0,逆序度是 $\frac {n(n-1)} 2$。除了这两种极端情况外,通过计算有序对或者逆序对的个数,来表示数据的有序度或逆序度。
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现在的问题是,如何编程求出一组数据的有序对个数或者逆序对个数呢?因为有序对个数和逆序对个数的求解方式是类似的,所以可以只思考逆序对个数的求解方法。

最笨的方法是,拿每个数字跟它后面的数字比较,看有几个比它小的。把比它小的数字个数记作 k,通过这样的方式,把每个数字都考察一遍之后,然后对每个数字对应的 k 值求和,最后得到的总和就是逆序对个数。不过,这样操作的时间复杂度是 $O(n^2)$。那有没有更加高效的处理方法呢?

用分治算法来试试。套用分治的思想来求数组 A 的逆序对个数。可以将数组分成前后两半 A1A2,分别计算 A1A2 的逆序对个数 K1K2,然后再计算 A1A2 之间的逆序对个数 K3。那数组 A 的逆序对个数就等于 K1 + K2 + K3

前面讲过,使用分治算法其中一个要求是,子问题合并的代价不能太大,否则就起不了降低时间复杂度的效果了。那回到这个问题,如何快速计算出两个子问题 A1A2 之间的逆序对个数呢?

这里就要借助归并排序算法了。如何借助归并排序算法来解决呢?

归并排序中有一个非常关键的操作,就是将两个有序的小数组,合并成一个有序的数组。实际上,在这个合并的过程中,就可以计算这两个小数组的逆序对个数了。每次合并操作,都计算逆序对个数,把这些计算出来的逆序对个数求和,就是这个数组的逆序对个数了。
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翻译成了代码如下,可以结合着图和文字描述一起看下。

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private int num = 0; // 全局变量或者成员变量

public int count(int[] a, int n) {
num = 0;
mergeSortCounting(a, 0, n-1);
return num;
}

private void mergeSortCounting(int[] a, int p, int r) {
if (p >= r) return;
int q = (p+r)/2;
mergeSortCounting(a, p, q);
mergeSortCounting(a, q+1, r);
merge(a, p, q, r);
}

private void merge(int[] a, int p, int q, int r) {
int i = p, j = q+1, k = 0;
int[] tmp = new int[r-p+1];
while (i<=q && j<=r) {
if (a[i] <= a[j]) {
tmp[k++] = a[i++];
} else {
num += (q-i+1); // 统计 p-q 之间,比 a[j] 大的元素个数
tmp[k++] = a[j++];
}
}
while (i <= q) { // 处理剩下的
tmp[k++] = a[i++];
}
while (j <= r) { // 处理剩下的
tmp[k++] = a[j++];
}
for (i = 0; i <= r-p; ++i) { // 从 tmp 拷贝回 a
a[p+i] = tmp[i];
}
}

有很多人经常说,某某算法思想如此巧妙,我是怎么也想不到的。实际上,确实是的。有些算法确实非常巧妙,并不是每个人短时间都能想到的。比如这个问题,并不是每个人都能想到可以借助归并排序算法来解决,不夸张地说,如果之前没接触过,绝大部分人都想不到。但是,如果告诉你可以借助归并排序算法来解决,那你就应该要想到如何改造归并排序,来求解这个问题了,只要你能做到这一点,就很棒了。

关于分治算法,这还有两道比较经典的问题,你可以自己练习一下。

  • 二维平面上有 n 个点,如何快速计算出两个距离最近的点对?

  • 有两个 n*n 的矩阵 AB,如何快速求解两个矩阵的乘积 C=A*B

分治思想在海量数据处理中的应用

分治算法思想的应用是非常广泛的,并不仅限于指导编程和算法设计。它还经常用在海量数据处理的场景中。前面讲的数据结构和算法,大部分都是基于内存存储和单机处理。但是,如果要处理的数据量非常大,没法一次性放到内存中,这个时候,这些数据结构和算法就无法工作了。

比如,给 10GB 的订单文件按照金额排序这样一个需求,看似是一个简单的排序问题,但是因为数据量大,有 10GB,而机器的内存可能只有 23GB 这样子,无法一次性加载到内存,也就无法通过单纯地使用快排、归并等基础算法来解决了。

要解决这种数据量大到内存装不下的问题,就可以利用分治的思想。可以将海量的数据集合根据某种方法,划分为几个小的数据集合,每个小的数据集合单独加载到内存来解决,然后再将小数据集合合并成大数据集合。实际上,利用这种分治的处理思路,不仅仅能克服内存的限制,还能利用多线程或者多机处理,加快处理的速度。

比如刚刚举的那个例子,给 10GB 的订单排序,就可以先扫描一遍订单,根据订单的金额,将 10GB 的文件划分为几个金额区间。比如订单金额为 1100 元的放到一个小文件,101200 之间的放到另一个文件,以此类推。这样每个小文件都可以单独加载到内存排序,最后将这些有序的小文件合并,就是最终有序的 10GB 订单数据了。

如果订单数据存储在类似 GFS 这样的分布式系统上,当 10GB 的订单被划分成多个小文件的时候,每个文件可以并行加载到多台机器上处理,最后再将结果合并在一起,这样并行处理的速度也加快了很多。不过,这里有一个点要注意,就是数据的存储与计算所在的机器是同一个或者在网络中靠的很近(比如一个局域网内,数据存取速度很快),否则就会因为数据访问的速度,导致整个处理过程不但不会变快,反而有可能变慢。

总结

分治算法用四个字概括就是“分而治之”,将原问题划分成 n 个规模较小而结构与原问题相似的子问题,递归地解决这些子问题,然后再合并其结果,就得到原问题的解。这个思想非常简单、好理解。

本篇讲了两种分治算法的典型的应用场景,一个是用来指导编码,降低问题求解的时间复杂度,另一个是解决海量数据处理问题。比如 MapReduce 本质上就是利用了分治思想。

人们也时常感叹 Google 的创新能力如此之强,总是在引领技术的发展。实际上,创新并非离我们很远,创新的源泉来自对事物本质的认识。无数优秀架构设计的思想来源都是基础的数据结构和算法,这本身就是算法的一个魅力所在。

思考

  • 为什么说 MapReduce 的本质就是分治思想?

    刚刚举的订单的例子,数据有 10GB 大小,可能给你的感受还不强烈。那如果要处理的数据是 1T10T100T 这样子的,那一台机器处理的效率肯定是非常低的。而对于谷歌搜索引擎来说,网页爬取、清洗、分析、分词、计算权重、倒排索引等等各个环节中,都会面对如此海量的数据(比如网页)。所以,利用集群并行处理显然是大势所趋。

    一台机器过于低效,那就把任务拆分到多台机器上来处理。如果拆分之后的小任务之间互不干扰,独立计算,最后再将结果合并。这不就是分治思想吗?

    实际上,MapReduce 框架只是一个任务调度器,底层依赖 GFS 来存储数据,依赖 Borg 管理机器。它从 GFS 中拿数据,交给 Borg 中的机器执行,并且时刻监控机器执行的进度,一旦出现机器宕机、进度卡壳等,就重新从 Borg 中调度一台机器执行。

    尽管 MapReduce 的模型非常简单,但是在 Google 内部应用非常广泛。它除了可以用来处理这种数据与数据之间存在关系的任务,比如 MapReduce 的经典例子,统计文件中单词出现的频率。除此之外,它还可以用来处理数据与数据之间没有关系的任务,比如对网页分析、分词等,每个网页可以独立的分析、分词,而这两个网页之间并没有关系。网页几十亿、上百亿,如果单机处理,效率低下,就可以利用 MapReduce 提供的高可靠、高性能、高容错的并行计算框架,并行地处理这几十亿、上百亿的网页。

  • 前面讲过的数据结构、算法、解决思路,以及举的例子中,有哪些采用了分治算法的思想呢?除此之外,生活、工作中,还有没有其他用到分治算法的地方呢?你可以自己回忆、总结一下,这对你将零散的知识提炼成体系非常有帮助。欢迎留言和我分享。

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