32.`Trie`树

本文最后更新于:6 个月前

搜索引擎的搜索关键词提示功能,应该不陌生吧?为了方便快速输入,当你在搜索引擎的搜索框中,输入要搜索的文字的某一部分的时候,搜索引擎就会自动弹出下拉框,里面是各种关键词提示。可以直接从下拉框中选择要搜索的东西,而不用把所有内容都输入进去,一定程度上节省了搜索时间。

尽管这个功能几乎天天在用,作为一名工程师,你是否思考过,它是怎么实现的呢?它底层使用的是哪种数据结构和算法呢?

Google、百度这样的搜索引擎,它们的关键词提示功能非常全面和精准,肯定做了很多优化,但万变不离其宗,底层最基本的原理就是这种数据结构:Trie 树。

什么是“Trie 树”?

Trie 树,也叫“字典树”。顾名思义,它是一个树形结构。它是一种专门处理字符串匹配的数据结构,用来解决在一组字符串集合中快速查找某个字符串的问题。

举个简单的例子来说明一下。有 6 个字符串,它们分别是:howhiherhellososee。希望在里面多次查找某个字符串是否存在。如果每次查找,都是拿要查找的字符串跟这 6 个字符串依次进行字符串匹配,那效率就比较低,有没有更高效的方法呢?

这个时候,就可以先对这 6 个字符串做一下预处理,组织成 Trie 树的结构,之后每次查找,都是在 Trie 树中进行匹配查找。**Trie 树的本质,就是利用字符串之间的公共前缀,将重复的前缀合并在一起**。最后构造出来的就是下面这个图中的样子。
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其中,根节点不包含任何信息。每个节点表示一个字符串中的字符,从根节点到红色节点的一条路径表示一个字符串(注意:红色节点并不都是叶子节点)。

为了更容易理解 Trie 树是怎么构造出来的,下面有一个 Trie 树构造的分解过程。构造过程的每一步,都相当于往 Trie 树中插入一个字符串。当所有字符串都插入完成之后,Trie 树就构造好了。
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当在 Trie 树中查找一个字符串的时候,比如查找字符串her,把将要查找的字符串分割成单个的字符 her,然后从 Trie 树的根节点开始匹配。如图所示,绿色的路径就是在 Trie 树中匹配的路径。
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如果要查找的是字符串he呢?还用上面同样的方法,从根节点开始,沿着某条路径来匹配,如图所示,绿色的路径,是字符串he匹配的路径。但是,路径的最后一个节点e并不是红色的。也就是说,he是某个字符串的前缀子串,但并不能完全匹配任何字符串。
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如何实现一棵 Trie 树?

从刚刚 Trie 树的介绍来看,Trie 树主要有两个操作,一个是将字符串集合构造成 Trie 树。这个过程分解开来的话,就是一个将字符串插入到 Trie 树的过程。另一个是在 Trie 树中查询一个字符串

了解了 Trie 树的两个主要操作之后,再来看下,如何存储一个 Trie 树?

从前面的图中,可以看出,Trie 树是一个多叉树。二叉树中,一个节点的左右子节点是通过两个指针来存储的,如下所示 Java 代码。那对于多叉树来说,怎么存储一个节点的所有子节点的指针呢?

class BinaryTreeNode {
  char data;
  BinaryTreeNode left;
  BinaryTreeNode right;  
}

先介绍其中一种存储方式,也是经典的存储方式,大部分数据结构和算法书籍中都是这么讲的。还记得散列表吗?借助散列表的思想,通过一个下标与字符一一映射的数组,来存储子节点的指针。这句话稍微有点抽象,不怎么好懂,下面有一张图可以看看。
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假设字符串中只有从 az26 个小写字母,在数组中下标为 0 的位置,存储指向子节点 a 的指针,下标为 1 的位置存储指向子节点 b 的指针,以此类推,下标为 25 的位置,存储的是指向的子节点 z 的指针。如果某个字符的子节点不存在,就在对应的下标的位置存储 null

class TrieNode {
  char data;
  TrieNode children[26];
}

当在 Trie 树中查找字符串的时候,就可以通过字符的 ASCII 码减去aASCII 码,迅速找到匹配的子节点的指针。比如,dASCII 码减去 aASCII 码就是 3,那子节点 d 的指针就存储在数组中下标为 3 的位置中。

把上面的描述翻译成了代码,可以结合着一块看下,应该有助于理解。

public class Trie {
  private TrieNode root = new TrieNode('/'); // 存储无意义字符

  // 往 Trie 树中插入一个字符串
  public void insert(char[] text) {
    TrieNode p = root;
    for (int i = 0; i < text.length; ++i) {
      int index = text[i] - 'a';
      if (p.children[index] == null) {
        TrieNode newNode = new TrieNode(text[i]);
        p.children[index] = newNode;
      }
      p = p.children[index];
    }
    p.isEndingChar = true;
  }

  // 在 Trie 树中查找一个字符串
  public boolean find(char[] pattern) {
    TrieNode p = root;
    for (int i = 0; i < pattern.length; ++i) {
      int index = pattern[i] - 'a';
      if (p.children[index] == null) {
        return false; // 不存在 pattern
      }
      p = p.children[index];
    }
    if (p.isEndingChar == false) return false; // 不能完全匹配,只是前缀
    else return true; // 找到 pattern
  }

  public class TrieNode {
    public char data;
    public TrieNode[] children = new TrieNode[26];
    public boolean isEndingChar = false;
    public TrieNode(char data) {
      this.data = data;
    }
  }
}

现在,再来看下,在 Trie 树中,查找某个字符串的时间复杂度是多少?

如果要在一组字符串中,频繁地查询某些字符串,用 Trie 树会非常高效。构建 Trie 树的过程,需要扫描所有的字符串,时间复杂度是 $O(n)$(n 表示所有字符串的长度和)。但是一旦构建成功之后,后续的查询操作会非常高效。

每次查询时,如果要查询的字符串长度是 k,那只需要比对大约 k 个节点,就能完成查询操作。跟原本那组字符串的长度和个数没有任何关系。所以说,构建好 Trie 树后,在其中查找字符串的时间复杂度是 $O(k)$,k 表示要查找的字符串的长度。

Trie 树真的很耗内存吗?

Trie 树是一种非常独特的、高效的字符串匹配方法。但是,关于 Trie 树,有没有听过这样一种说法:“Trie 树是非常耗内存的,用的是一种空间换时间的思路”。这是什么原因呢?

刚刚在讲 Trie 树的实现的时候,讲到用数组来存储一个节点的子节点的指针。如果字符串中包含从 az26 个字符,那每个节点都要存储一个长度为 26 的数组,并且每个数组存储一个 8 字节指针(或者是 4 字节,这个大小跟 CPU、操作系统、编译器等有关)。而且,即便一个节点只有很少的子节点,远小于 26 个,比如 34 个,也要维护一个长度为 26 的数组。

Trie 树的本质是避免重复存储一组字符串的相同前缀子串,但是现在每个字符(对应一个节点)的存储远远大于 1 个字节。按照上面举的例子,数组长度为 26,每个元素是 8 字节,那每个节点就会额外需要 26*8 = 208 个字节。而且这还是只包含 26 个字符的情况。

如果字符串中不仅包含小写字母,还包含大写字母、数字、甚至是中文,那需要的存储空间就更多了。所以,也就是说,在某些情况下,Trie 树不一定会节省存储空间。在重复的前缀并不多的情况下,Trie 树不但不能节省内存,还有可能会浪费更多的内存。

当然,不可否认,Trie 树尽管有可能很浪费内存,但是确实非常高效。那为了解决这个内存问题,是否有其他办法呢?

可以稍微牺牲一点查询的效率,将每个节点中的数组换成其他数据结构,来存储一个节点的子节点指针。用哪种数据结构呢?选择其实有很多,比如有序数组、跳表、散列表、红黑树等。

假设用有序数组,数组中的指针按照所指向的子节点中的字符的大小顺序排列。查询的时候,可以通过二分查找的方法,快速查找到某个字符应该匹配的子节点的指针。但是,在往 Trie 树中插入一个字符串的时候,为了维护数组中数据的有序性,就会稍微慢了点。

实际上,Trie 树的变体有很多,都可以在一定程度上解决内存消耗的问题。比如,缩点优化,就是对只有一个子节点的节点,而且此节点不是一个串的结束节点,可以将此节点与子节点合并。这样可以节省空间,但却增加了编码难度。这里就不展开详细讲解了,如果感兴趣,可以自行研究下。
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Trie 树与散列表、红黑树的比较

实际上,字符串的匹配问题,笼统上讲,其实就是数据的查找问题。对于支持动态数据高效操作的数据结构,前面已经讲过好多了,比如散列表、红黑树、跳表等等。实际上,这些数据结构也可以实现在一组字符串中查找字符串的功能。这里选了两种数据结构,散列表和红黑树,跟 Trie 树比较一下,看看它们各自的优缺点和应用场景。

在刚刚讲的这个场景,在一组字符串中查找字符串,Trie 树实际上表现得并不好。它对要处理的字符串有及其严苛的要求。

第一,字符串中包含的字符集不能太大。前面讲到,如果字符集太大,那存储空间可能就会浪费很多。即便可以优化,但也要付出牺牲查询、插入效率的代价。

第二,要求字符串的前缀重合比较多,不然空间消耗会变大很多。

第三,如果要用 Trie 树解决问题,那就要自己从零开始实现一个 Trie 树,还要保证没有 bug,这个在工程上是将简单问题复杂化,除非必须,一般不建议这样做。

第四,通过指针串起来的数据块是不连续的,而 Trie 树中用到了指针,所以,对缓存并不友好,性能上会打个折扣。

综合这几点,针对在一组字符串中查找字符串的问题,在工程中,更倾向于用散列表或者红黑树。因为这两种数据结构,都不需要自己去实现,直接利用编程语言中提供的现成类库就行了。

讲到这里,可能要疑惑了,讲了半天,这里对 Trie 树一通否定,还让用红黑树或者散列表,那 Trie 树是不是就没用了呢?是不是这里的内容就白看了呢?

实际上,Trie 树只是不适合精确匹配查找,这种问题更适合用散列表或者红黑树来解决。Trie 树比较适合的是查找前缀匹配的字符串,也就是类似开篇问题的那种场景。

总结

Trie 树是一种解决字符串快速匹配问题的数据结构。如果用来构建 Trie 树的这一组字符串中,前缀重复的情况不是很多,那 Trie 树这种数据结构总体上来讲是比较费内存的,是一种空间换时间的解决问题思路。

尽管比较耗费内存,但是对内存不敏感或者内存消耗在接受范围内的情况下,在 Trie 树中做字符串匹配还是非常高效的,时间复杂度是 $O(k)$,k 表示要匹配的字符串的长度。

但是,Trie 树的优势并不在于,用它来做动态集合数据的查找,因为,这个工作完全可以用更加合适的散列表或者红黑树来替代。Trie 树最有优势的是查找前缀匹配的字符串,比如搜索引擎中的关键词提示功能这个场景,就比较适合用它来解决,也是 Trie 树比较经典的应用场景。

思考

  1. 如何利用 Trie 树,实现搜索关键词的提示功能?

    假设关键词库由用户的热门搜索关键词组成。将这个词库构建成一个 Trie 树。当用户输入其中某个单词的时候,把这个词作为一个前缀子串在 Trie 树中匹配。假设词库里只有 helloherhihowsosee6 个关键词。当用户输入了字母 h 的时候,就把以 h 为前缀的 helloherhihow 展示在搜索提示框内。当用户继续键入字母 e 的时候,就把以 he 为前缀的 helloher 展示在搜索提示框内。这就是搜索关键词提示的最基本的算法原理。
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    不过,这里讲的只是最基本的实现原理,实际上,搜索引擎的搜索关键词提示功能远非我讲的这么简单。如果再稍微深入一点,就会想到,上面的解决办法遇到下面几个问题:

    • 刚讲的思路是针对英文的搜索关键词提示,对于更加复杂的中文来说,词库中的数据又该如何构建成 Trie 树呢?

    • 如果词库中有很多关键词,在搜索提示的时候,用户输入关键词,作为前缀在 Trie 树中可以匹配的关键词也有很多,如何选择展示哪些内容呢?

    • Google 这样的搜索引擎,用户单词拼写错误的情况下,Google 还是可以使用正确的拼写来做关键词提示,这个又是怎么做到的呢?

    实际上,Trie 树的这个应用可以扩展到更加广泛的一个应用上,就是自动输入补全,比如输入法自动补全功能、IDE 代码编辑器自动补全功能、浏览器网址输入的自动补全功能等等。

  2. 如果现在有一个很大的字符串集合,比如包含 1 万条记录,如何通过编程量化分析这组字符串集合是否比较适合用 Trie 树解决呢?也就是如何统计字符串的字符集大小,以及前缀重合的程度呢?欢迎留言和我分享。