21.二叉树(下)

本文最后更新于:1 年前

上一篇学习了树、二叉树以及二叉树的遍历,下面再来学习一种特殊的的二叉树,二叉查找树。二叉查找树最大的特点就是,支持动态数据集合的快速插入、删除、查找操作。

之前说过,散列表也是支持这些操作的,并且散列表的这些操作比二叉查找树更高效,时间复杂度是 $O(1)$。既然有了这么高效的散列表,使用二叉树的地方是不是都可以替换成散列表呢?有没有哪些地方是散列表做不了,必须要用二叉树来做的呢?

二叉查找树(Binary Search Tree)

二叉查找树是二叉树中最常用的一种类型,也叫二叉搜索树。顾名思义,二叉查找树是为了实现快速查找而生的。不过,它不仅仅支持快速查找一个数据,还支持快速插入、删除一个数据。它是怎么做到这些的呢?

这些都依赖于二叉查找树的特殊结构。二叉查找树要求,在树中的任意一个节点,其左子树中的每个节点的值,都要小于这个节点的值,而右子树节点的值都大于这个节点的值。下面画了几个二叉查找树的例子,你一看应该就清楚了。
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前面讲到,二叉查找树支持快速查找、插入、删除操作,现在就依次来看下,这三个操作是如何实现的。

1. 二叉查找树的查找操作
首先看如何在二叉查找树中查找一个节点。先取根节点,如果它等于要查找的数据,那就返回。如果要查找的数据比根节点的值小,那就在左子树中递归查找;如果要查找的数据比根节点的值大,那就在右子树中递归查找。
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这里把查找的代码实现了一下,贴在下面了,结合代码,理解起来会更加容易。

public class BinarySearchTree {
  private Node tree;

  public Node find(int data) {
    Node p = tree;
    while (p != null) {
      if (data < p.data) p = p.left;
      else if (data > p.data) p = p.right;
      else return p;
    }
    return null;
  }

  public static class Node {
    private int data;
    private Node left;
    private Node right;

    public Node(int data) {
      this.data = data;
    }
  }
}

2. 二叉查找树的插入操作

二叉查找树的插入过程有点类似查找操作。新插入的数据一般都是在叶子节点上,所以只需要从根节点开始,依次比较要插入的数据和节点的大小关系。

如果要插入的数据比节点的数据大,并且节点的右子树为空,就将新数据直接插到右子节点的位置;如果不为空,就再递归遍历右子树,查找插入位置。同理,如果要插入的数据比节点数值小,并且节点的左子树为空,就将新数据插入到左子节点的位置;如果不为空,就再递归遍历左子树,查找插入位置。
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同样,插入的代码也实现了一下,贴在下面,你可以看看。

public void insert(int data) {
  if (tree == null) {
    tree = new Node(data);
    return;
  }

  Node p = tree;
  while (p != null) {
    if (data > p.data) {
      if (p.right == null) {
        p.right = new Node(data);
        return;
      }
      p = p.right;
    } else { // data < p.data
      if (p.left == null) {
        p.left = new Node(data);
        return;
      }
      p = p.left;
    }
  }
}

3. 二叉查找树的删除操作

二叉查找树的查找、插入操作都比较简单易懂,但是它的删除操作就比较复杂了 。针对要删除节点的子节点个数的不同,需要分三种情况来处理。

第一种情况是,如果要删除的节点没有子节点,只需要直接将父节点中,指向要删除节点的指针置为 null。比如图中的删除节点 55

第二种情况是,如果要删除的节点只有一个子节点(只有左子节点或者右子节点),只需要更新父节点中,指向要删除节点的指针,让它指向要删除节点的子节点就可以了。比如图中的删除节点 13

第三种情况是,如果要删除的节点有两个子节点,这就比较复杂了。需要找到这个节点的右子树中的最小节点,把它替换到要删除的节点上。然后再删除掉这个最小节点,因为最小节点肯定没有左子节点(如果有左子结点,那就不是最小节点了),所以,可以应用上面两条规则来删除这个最小节点。比如图中的删除节点 18
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老规矩,还是把删除的代码贴在这里。

public void delete(int data) {
  Node p = tree; // p 指向要删除的节点,初始化指向根节点
  Node pp = null; // pp 记录的是 p 的父节点
  while (p != null && p.data != data) {
    pp = p;
    if (data > p.data) p = p.right;
    else p = p.left;
  }
  if (p == null) return; // 没有找到

  // 要删除的节点有两个子节点
  if (p.left != null && p.right != null) { // 查找右子树中最小节点
    Node minP = p.right;
    Node minPP = p; // minPP 表示 minP 的父节点
    while (minP.left != null) {
      minPP = minP;
      minP = minP.left;
    }
    p.data = minP.data; // 将 minP 的数据替换到 p 中
    p = minP; // 下面就变成了删除 minP 了
    pp = minPP;
  }

  // 删除节点是叶子节点或者仅有一个子节点
  Node child; // p 的子节点
  if (p.left != null) child = p.left;
  else if (p.right != null) child = p.right;
  else child = null;

  if (pp == null) tree = child; // 删除的是根节点
  else if (pp.left == p) pp.left = child;
  else pp.right = child;
}

实际上,关于二叉查找树的删除操作,还有个非常简单、取巧的方法,就是单纯将要删除的节点标记为“已删除”,但是并不真正从树中将这个节点去掉。这样原本删除的节点还需要存储在内存中,比较浪费内存空间,但是删除操作就变得简单了很多。而且,这种处理方法也并没有增加插入、查找操作代码实现的难度。

4. 二叉查找树的其他操作

除了插入、删除、查找操作之外,二叉查找树中还可以支持快速地查找最大节点和最小节点、前驱节点和后继节点。这些操作就不一一展示了。

二叉查找树除了支持上面几个操作之外,还有一个重要的特性,就是中序遍历二叉查找树,可以输出有序的数据序列,时间复杂度是 $O(n)$,非常高效。因此,二叉查找树也叫作二叉排序树。

支持重复数据的二叉查找树

前面讲二叉查找树的时候,默认树中节点存储的都是数字。很多时候,在实际的软件开发中,在二叉查找树中存储的,是一个包含很多字段的对象。利用对象的某个字段作为键值(key)来构建二叉查找树。把对象中的其他字段叫作卫星数据。

前面讲的二叉查找树的操作,针对的都是不存在键值相同的情况。那如果存储的两个对象键值相同,这种情况该怎么处理呢?这里有两种解决方法。

第一种方法比较容易。二叉查找树中每一个节点不仅会存储一个数据,因此通过链表和支持动态扩容的数组等数据结构,把值相同的数据都存储在同一个节点上。

第二种方法比较不好理解,不过更加优雅。

每个节点仍然只存储一个数据。在查找插入位置的过程中,如果碰到一个节点的值,与要插入数据的值相同,就将这个要插入的数据放到这个节点的右子树,也就是说,把这个新插入的数据当作大于这个节点的值来处理。
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当要查找数据的时候,遇到值相同的节点,并不停止查找操作,而是继续在右子树中查找,直到遇到叶子节点,才停止。这样就可以把键值等于要查找值的所有节点都找出来。
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对于删除操作,也需要先查找到每个要删除的节点,然后再按前面讲的删除操作的方法,依次删除。
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二叉查找树的时间复杂度分析

好了,对于二叉查找树常用操作的实现方式,应该掌握得差不多了。现在,来分析一下,二叉查找树的插入、删除、查找操作的时间复杂度。

实际上,二叉查找树的形态各式各样。比如这个图中,对于同一组数据,构造了三种二叉查找树。它们的查找、插入、删除操作的执行效率都是不一样的。图中第一种二叉查找树,根节点的左右子树极度不平衡,已经退化成了链表,所以查找的时间复杂度就变成了 $O(n)$。
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刚刚其实分析了一种最糟糕的情况,现在来分析一个最理想的情况,二叉查找树是一棵完全二叉树(或满二叉树)。这个时候,插入、删除、查找的时间复杂度是多少呢?

从前面的例子、图,以及还有代码来看,不管操作是插入、删除还是查找,**时间复杂度其实都跟树的高度成正比,也就是 $O(height)$**。既然这样,现在问题就转变成另外一个了,也就是,如何求一棵包含 n 个节点的完全二叉树的高度?

树的高度就等于最大层数减一,为了方便计算,转换成层来表示。从图中可以看出,包含 n 个节点的完全二叉树中,第一层包含 1 个节点,第二层包含 2 个节点,第三层包含 4 个节点,依次类推,下面一层节点个数是上一层的 2 倍,第 K 层包含的节点个数就是 $2^{K-1}$。

不过,对于完全二叉树来说,最后一层的节点个数有点儿不遵守上面的规律了。它包含的节点个数在 1 个到 $2^{L-1}$ 个之间(假设最大层数是 L)。如果把每一层的节点个数加起来就是总的节点个数 n。也就是说,如果节点的个数是 n,那么 n 满足这样一个关系:

n >= 1+2+4+8+...+2^(L-2)+1
n <= 1+2+4+8+...+2^(L-2)+2^(L-1)

借助等比数列的求和公式,可以计算出,L 的范围是 [$log_2(n+1)$, $log_2n + 1$]。完全二叉树的层数小于等于 $log_2n + 1$,也就是说,完全二叉树的高度小于等于 $log_2n$。

显然,极度不平衡的二叉查找树,它的查找性能肯定不能满足需求。需要构建一种不管怎么删除、插入数据,在任何时候,都能保持任意节点左右子树都比较平衡的二叉查找树,这就是下一篇要详细讲的,一种特殊的二叉查找树,平衡二叉查找树。平衡二叉查找树的高度接近 logn,所以插入、删除、查找操作的时间复杂度也比较稳定,是 $O(logn)$。

总结

上面学习了一种特殊的二叉树,二叉查找树。它支持快速地查找、插入、删除操作。

二叉查找树中,每个节点的值都大于左子树节点的值,小于右子树节点的值。不过,这只是针对没有重复数据的情况。对于存在重复数据的二叉查找树,介绍了两种构建方法,一种是让每个节点存储多个值相同的数据;另一种是,每个节点中存储一个数据。针对这种情况,只需要稍加改造原来的插入、删除、查找操作即可。

在二叉查找树中,查找、插入、删除等很多操作的时间复杂度都跟树的高度成正比。两个极端情况的时间复杂度分别是 $O(n)$ 和 $O(logn)$,分别对应二叉树退化成链表的情况和完全二叉树。

为了避免时间复杂度的退化,针对二叉查找树,又设计了一种更加复杂的树,平衡二叉查找树,时间复杂度可以做到稳定的 $O(logn)$,下一篇具体来讲。

思考

  • 散列表的插入、删除、查找操作的时间复杂度可以做到常量级的 $O(1)$,非常高效。而二叉查找树在比较平衡的情况下,插入、删除、查找操作时间复杂度才是 $O(logn)$,相对散列表,好像并没有什么优势,那为什么还要用二叉查找树呢?

    有下面几个原因:

    第一,散列表中的数据是无序存储的,如果要输出有序的数据,需要先进行排序。而对于二叉查找树来说,只需要中序遍历,就可以在 $O(n)$ 的时间复杂度内,输出有序的数据序列。

    第二,散列表扩容耗时很多,而且当遇到散列冲突时,性能不稳定,尽管二叉查找树的性能不稳定,但是在工程中,最常用的平衡二叉查找树的性能非常稳定,时间复杂度稳定在 $O(logn)$。

    第三,笼统地来说,尽管散列表的查找等操作的时间复杂度是常量级的,但因为哈希冲突的存在,这个常量不一定比 logn 小,所以实际的查找速度可能不一定比 $O(logn)$ 快。加上哈希函数的耗时,也不一定就比平衡二叉查找树的效率高。

    第四,散列表的构造比二叉查找树要复杂,需要考虑的东西很多。比如散列函数的设计、冲突解决办法、扩容、缩容等。平衡二叉查找树只需要考虑平衡性这一个问题,而且这个问题的解决方案比较成熟、固定。

    最后,为了避免过多的散列冲突,散列表装载因子不能太大,特别是基于开放寻址法解决冲突的散列表,不然会浪费一定的存储空间。

    综合这几点,平衡二叉查找树在某些方面还是优于散列表的,所以,这两者的存在并不冲突。在实际的开发过程中,需要结合具体的需求来选择使用哪一个。

  • 如何通过编程,求出一棵给定二叉树的确切高度呢?

    确定二叉树高度有两种思路:
    第一种是深度优先思想的递归,分别求左右子树的高度。当前节点的高度就是左右子树中较大的那个+1
    第二种可以采用层次遍历的方式,每一层记录都记录下当前队列的长度,这个是队尾,每一层队头从0开始。然后每遍历一个元素,队头下标+1。直到队头下标等于队尾下标。这个时候表示当前层遍历完成。每一层刚开始遍历的时候,树的高度+1。最后队列为空,就能得到树的高度。

二叉查找树的完整实现

public class BinarySearchTree {
  private Node tree;

  public Node find(int data) {
    Node p = tree;
    while (p != null) {
      if (data < p.data) p = p.left;
      else if (data > p.data) p = p.right;
      else return p;
    }
    return null;
  }
  
  public void insert(int data) {
    if (tree == null) {
      tree = new Node(data);
      return;
    }

    Node p = tree;
    while (p != null) {
      if (data > p.data) {
        if (p.right == null) {
          p.right = new Node(data);
          return;
        }
        p = p.right;
      } else { // data < p.data
        if (p.left == null) {
          p.left = new Node(data);
          return;
        }
        p = p.left;
      }
    }
  }

  public void delete(int data) {
    Node p = tree; // p指向要删除的节点,初始化指向根节点
    Node pp = null; // pp记录的是p的父节点
    while (p != null && p.data != data) {
      pp = p;
      if (data > p.data) p = p.right;
      else p = p.left;
    }
    if (p == null) return; // 没有找到

    // 要删除的节点有两个子节点
    if (p.left != null && p.right != null) { // 查找右子树中最小节点
      Node minP = p.right;
      Node minPP = p; // minPP表示minP的父节点
      while (minP.left != null) {
        minPP = minP;
        minP = minP.left;
      }
      p.data = minP.data; // 将minP的数据替换到p中
      p = minP; // 下面就变成了删除minP了
      pp = minPP;
    }

    // 删除节点是叶子节点或者仅有一个子节点
    Node child; // p的子节点
    if (p.left != null) child = p.left;
    else if (p.right != null) child = p.right;
    else child = null;

    if (pp == null) tree = child; // 删除的是根节点
    else if (pp.left == p) pp.left = child;
    else pp.right = child;
  }

  public Node findMin() {
    if (tree == null) return null;
    Node p = tree;
    while (p.left != null) {
      p = p.left;
    }
    return p;
  }

  public Node findMax() {
    if (tree == null) return null;
    Node p = tree;
    while (p.right != null) {
      p = p.right;
    }
    return p;
  }
  
  public static class Node {
    private int data;
    private Node left;
    private Node right;

    public Node(int data) {
      this.data = data;
    }
  }
}


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