13.二分查找(下)

2019.07.21 14:24 0

通过 IP 地址来查找 IP 归属地的功能,不知道你有没有用过?没用过也没关系,现在可以打开百度,在搜索框里随便输一个 IP 地址,就会看到它的归属地。

这个功能并不复杂,它是通过维护一个很大的 IP 地址库来实现的。地址库中包括 IP 地址范围和归属地的对应关系。

当想要查询 202.102.133.13 这个 IP 地址的归属地时,就在地址库中搜索,发现这个 IP 地址落在 [202.102.133.0, 202.102.133.255] 这个地址范围内,那就可以将这个 IP 地址范围对应的归属地“山东东营市”显示给用户了。

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[202.102.133.0, 202.102.133.255]  山东东营市 
[202.102.135.0, 202.102.136.255] 山东烟台
[202.102.156.34, 202.102.157.255] 山东青岛
[202.102.48.0, 202.102.48.255] 江苏宿迁
[202.102.49.15, 202.102.51.251] 江苏泰州
[202.102.56.0, 202.102.56.255] 江苏连云港

现在的问题是,在庞大的地址库中逐一比对 IP 地址所在的区间,是非常耗时的。假设有 12 万条这样的 IP 区间与归属地的对应关系,如何快速定位出一个 IP 地址的归属地呢?

不知道你有没有听过这样一个说法:“十个二分九个错”。二分查找虽然原理极其简单,但是想要写出没有 Bug 的二分查找并不容易。
唐纳德·克努特(Donald E.Knuth)在《计算机程序设计艺术》的第 3 卷《排序和查找》中说到:“尽管第一个二分查找算法于 1946 年出现,然而第一个完全正确的二分查找算法实现直到 1962 年才出现。”
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需要特别说明一点,为了简化讲解,下面的内容,都以数据是从小到大排列为前提,如果你要处理的数据是从大到小排列的,解决思路也是一样的。

变体一:查找第一个值等于给定值的元素

上一篇中的二分查找是最简单的一种,即有序数据集合中不存在重复的数据,在其中查找值等于某个给定值的数据。如果将这个问题稍微修改下,有序数据集合中存在重复的数据,希望找到第一个值等于给定值的数据,这样之前的二分查找代码还能继续工作吗?

比如下面这样一个有序数组,其中,a[5]a[6]a[7] 的值都等于 8,是重复的数据。希望查找第一个等于 8 的数据,也就是下标是 5 的元素。
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如果用上一篇的二分查找的代码实现,首先拿 8 与区间的中间值 a[4] 比较,86 大,于是在下标 59 之间继续查找。下标 59 的中间位置是下标 7a[7] 正好等于 8,所以代码就返回了。

尽管 a[7] 也等于 8,但它并不是想要找的第一个等于 8 的元素,因为第一个值等于 8 的元素是数组下标为 5 的元素。上一篇的二分查找代码就无法处理这种情况了。所以,针对这个变形问题,可以稍微改造一下上一节的代码。

100 个人写二分查找就会有 100 种写法。网上有很多关于变形二分查找的实现方法,有很多写得非常简洁,比如下面这个写法。但是,尽管简洁,理解起来却非常烧脑,也很容易写错。

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public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (a[mid] >= value) {
high = mid - 1;
} else {
low = mid + 1;
}
}

if (low < n && a[low]==value) return low;
else return -1;
}

看完这个实现之后,是不是觉得很不好理解?如果你只是死记硬背这个写法,我敢保证,过不了几天,你就会全都忘光,再让你写,90% 的可能会写错。所以,换了一种实现方法,你看看是不是更容易理解呢?

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public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (a[mid] > value) {
high = mid - 1;
} else if (a[mid] < value) {
low = mid + 1;
} else {
if ((mid == 0) || (a[mid - 1] != value)) return mid;
else high = mid - 1;
}
}
return -1;
}

稍微解释一下这段代码。a[mid] 跟要查找的 value 的大小关系有三种情况:大于、小于、等于。对于 a[mid]>value 的情况,需要更新 high= mid-1;对于 a[mid]<value 的情况,需要更新 low=mid+1。这两点都很好理解。那当 a[mid]=value 的时候应该如何处理呢?

如果查找的是任意一个值等于给定值的元素,当 a[mid] 等于要查找的值时,a[mid] 就是要找的元素。但是,如果求解的是第一个值等于给定值的元素,当 a[mid] 等于要查找的值时,就需要确认一下这个 a[mid] 是不是第一个值等于给定值的元素。

重点看第 11 行代码。如果 mid 等于 0,那这个元素已经是数组的第一个元素,那它肯定是要找的;如果 mid 不等于 0,但 a[mid] 的前一个元素 a[mid-1] 不等于 value,那也说明 a[mid] 就是要找的第一个值等于给定值的元素。

如果经过检查之后发现 a[mid] 前面的一个元素 a[mid-1] 也等于 value,那说明此时的 a[mid] 肯定不是要查找的第一个值等于给定值的元素。那就更新 high=mid-1,因为要找的元素肯定出现在 [low, mid-1] 之间。

对比上面的两段代码,是不是下面那种更好理解?实际上,很多人都觉得变形的二分查找很难写,主要原因是太追求第一种那样完美、简洁的写法。而对于做工程开发的人来说,代码易读懂、没 Bug,其实更重要,所以我觉得第二种写法更好。

变体二:查找最后一个值等于给定值的元素

前面的问题是查找第一个值等于给定值的元素,现在把问题稍微改一下,查找最后一个值等于给定值的元素,又该如何做呢?

如果掌握了前面的写法,那这个问题你应该很轻松就能解决。你可以先试着实现一下,然后跟下面的对比一下。

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public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (a[mid] > value) {
high = mid - 1;
} else if (a[mid] < value) {
low = mid + 1;
} else {
if ((mid == n - 1) || (a[mid + 1] != value)) return mid;
else low = mid + 1;
}
}
return -1;
}

还是重点看第 11 行代码。如果 a[mid] 这个元素已经是数组中的最后一个元素了,那它肯定是要找的;如果 a[mid] 的后一个元素 a[mid+1] 不等于 value,那也说明 a[mid] 就是要找的最后一个值等于给定值的元素。

如果经过检查之后,发现 a[mid] 后面的一个元素 a[mid+1] 也等于 value,那说明当前的这个 a[mid] 并不是最后一个值等于给定值的元素。就更新 low=mid+1,因为要找的元素肯定出现在 [mid+1, high] 之间。

变体三:查找第一个大于等于给定值的元素

现在再来看另外一类变形问题。在有序数组中,查找第一个大于等于给定值的元素。比如,数组中存储的这样一个序列:3,4,6,7,10。如果查找第一个大于等于 5 的元素,那就是 6

实际上,实现的思路跟前面的那两种变形问题的实现思路类似,代码写起来甚至更简洁。

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public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (a[mid] >= value) {
if ((mid == 0) || (a[mid - 1] < value)) return mid;
else high = mid - 1;
} else {
low = mid + 1;
}
}
return -1;
}

如果 a[mid] 小于要查找的值 value,那要查找的值肯定在 [mid+1, high] 之间,所以,更新 low=mid+1

对于 a[mid] 大于等于给定值 value 的情况,要先看下这个 a[mid] 是不是要找的第一个值大于等于给定值的元素。如果 a[mid] 前面已经没有元素,或者前面一个元素小于要查找的值 value,那 a[mid] 就是要找的元素。这段逻辑对应的代码是第 7 行。

如果 a[mid-1] 也大于等于要查找的值 value,那说明要查找的元素在 [low, mid-1] 之间,所以,将 high 更新为 mid-1

变体四:查找最后一个小于等于给定值的元素

现在,来看最后一种二分查找的变形问题,查找最后一个小于等于给定值的元素。比如,数组中存储了这样一组数据:3,5,6,8,9,10。最后一个小于等于 7 的元素就是 6。是不是有点类似上面那一种?实际上,实现思路也是一样的。

有了前面的基础,完全可以自己写出来了,所以就不详细分析了。把代码贴出来,你可以写完之后对比一下。

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public int bsearch7(int[] a, int n, int value) {
int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (a[mid] > value) {
high = mid - 1;
} else {
if ((mid == n - 1) || (a[mid + 1] > value)) return mid;
else low = mid + 1;
}
}
return -1;
}

总结

凡是用二分查找能解决的,绝大部分更倾向于用散列表或者二叉查找树。即便是二分查找在内存使用上更节省,但是毕竟内存如此紧缺的情况并不多。那二分查找真的没什么用处了吗?

实际上,上一篇的求“值等于给定值”的二分查找确实不怎么会被用到,二分查找更适合用在“近似”查找问题,在这类问题上,二分查找的优势更加明显。比如上面的这几种变体问题,用其他数据结构,比如散列表、二叉树,就比较难实现了。

变体的二分查找算法写起来非常烧脑,很容易因为细节处理不好而产生 Bug,这些容易出错的细节有:终止条件、区间上下界更新方法、返回值选择。所以上面的内容你最好能用自己实现一遍,对锻炼编码能力、逻辑思维、写出 Bug free 代码,会很有帮助。

思考

  • 如何快速定位出一个 IP 地址的归属地?

    现在这个问题应该很简单了。如果 IP 区间与归属地的对应关系不经常更新,可以先预处理这 12 万条数据,让其按照起始 IP 从小到大排序。如何来排序呢?IP 地址可以转化为 32 位的整型数。所以,可以将起始地址,按照对应的整型值的大小关系,从小到大进行排序。
    然后,这个问题就可以转化第四种变形问题“在有序数组中,查找最后一个小于等于某个给定值的元素”了。
    当要查询某个 IP 归属地时,可以先通过二分查找,找到最后一个起始 IP 小于等于这个 IPIP 区间,然后,检查这个 IP 是否在这个 IP 区间内,如果在,就取出对应的归属地显示;如果不在,就返回未查找到。

  • 如果有序数组是一个循环有序数组,比如 4,5,6,1,2,3。针对这种情况,如何实现一个求“值等于给定值”的二分查找算法呢?

    有三种方法查找循环有序数组

    • 一、
    • 找到分界下标,分成两个有序数组
    • 判断目标值在哪个有序数据范围内,做二分查找
      • 二、
    • 找到最大值的下标 x;
    • 所有元素下标 +x 偏移,超过数组范围值的取模;
    • 利用偏移后的下标做二分查找;
    • 如果找到目标下标,再作 -x 偏移,就是目标值实际下标。
      两种情况最高时耗都在查找分界点上,所以时间复杂度是 $O(n)$。
      复杂度有点高,能否优化呢?
      • 三、
        循环数组存在一个性质:以数组中间点为分区,会将数组分成一个有序数组和一个循环有序数组。
        如果首元素小于 mid,说明前半部分是有序的,后半部分是循环有序数组;
        如果首元素大于 mid,说明后半部分是有序的,前半部分是循环有序的数组;
        如果目标元素在有序数组范围中,使用二分查找;
        如果目标元素在循环有序数组中,设定数组边界后,使用以上方法继续查找。
        时间复杂度为 $O(logn)$。

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